Un sous-ensemble I d'un anneau R fermé par addition et par multiplication par des éléments arbitraires de R (r·i et i·r appartiennent à I) ; dans les anneaux commutatifs on exige r·i ∈ I pour tous r∈R, i∈I.

Principe

Un idéal formalise l'idée d'un sous-ensemble stable par les opérations de l'anneau, analogue à un noyau, permettant la formation du quotient R/I avec des opérations bien définies.

Démonstration

Dans Z, l'ensemble nZ des multiples d'un entier n est un idéal ; dans k[x], l'ensemble (f) de tous les multiples d'un polynôme f est un idéal principal engendré par f.

Mauvaise application

Confondre idéal et sous-anneau : un idéal ne contient pas nécessairement l'élément unité 1 et n'est en général pas fermé par multiplication interne sauf si cela découle de la multiplication du anneau.

Conséquence

Les idéaux permettent la construction de quotients, la décomposition primaire, les localisations et l'étude des noyaux d'homomorphismes.

Inversion

Un sous-ensemble multiplicatif ou un sous-anneau contenant 1 et fermé par multiplication mais non absorbant par addition se distingue d'un idéal ; ces ensembles ne produisent pas de quotients par la même procédure.

Limite

Distinguer idéaux bilatéraux, à gauche et à droite dans les anneaux non commutatifs ; en algèbre commutative 'idéal' signifie généralement bilatéral. Un idéal est un sous-ensemble d'un anneau, pas seulement d'un module (même si c'est un module).

Tension sémantique

Idéal vs sous-module : un idéal est un sous-module de l'anneau considéré comme module sur lui-même, mais restreindre la notion à celle de noyau ou de sous-anneau peut masquer la propriété d'absorption par la multiplication.

Synthèse

Un idéal est un sous-ensemble d'un anneau fermé par addition et absorbant par multiplication par les éléments de l'anneau ; il sert de notion de 'noyau' appropriée permettant de quotienter et d'analyser la structure de l'anneau.