Definición
Un subconjunto I de un anillo R cerrado por suma y por multiplicación por elementos arbitrarios de R (r·i y i·r pertenecen a I); en anillos conmutativos eso se expresa como r·i ∈ I para todo r∈R, i∈I.
Principio
Principio
Un ideal abstrae la noción de un subconjunto tipo núcleo que es estable bajo las operaciones del anillo, posibilitando la construcción del cociente R/I con operaciones bien definidas.
Demostración
Demostración
En Z, nZ (los múltiplos de n) es un ideal; en k[x], (f) es el conjunto de todos los múltiplos de un polinomio f, un ideal principal generado por f.
Aplicación incorrecta
Aplicación incorrecta
Confundir ideal con subanillo: un ideal no tiene por qué contener la unidad 1 y, por lo general, no está cerrado por la multiplicación interna salvo que eso siga de la multiplicación del anillo.
Consecuencia
Consecuencia
Los ideales permiten formar anillos cocientes y sustentan construcciones como descomposición primaria, localizaciones y el estudio de núcleos de homomorfismos.
Inversión
Inversión
Un subconjunto multiplicativo o un subanillo que contiene 1 y está cerrado por multiplicación pero no satisface la absorción aditiva difiere de un ideal; tales conjuntos no producen cocientes de la misma manera.
Límite
Límite
Hay que distinguir ideales bilaterales, izquierdos y derechos en anillos no conmutativos; en álgebra conmutativa 'ideal' suele implicar bilateral. Un ideal es un subconjunto de un anillo, no un módulo genérico (aunque los ideales son módulos sobre el anillo).
Tensión semántica
Tensión semántica
Ideal vs submódulo: un ideal es un submódulo del anillo considerado como módulo sobre sí mismo, pero verlo sólo como submódulo o sólo como núcleo puede ocultar la propiedad de absorción por multiplicación.
Síntesis
Síntesis
Un ideal es un subconjunto de un anillo cerrado por suma y absorbente frente a la multiplicación por elementos del anillo; es la estructura adecuada para formar cocientes y analizar la estructura del anillo.