Un domaine euclidien est un domaine intègre muni d'une fonction euclidienne (à valeurs dans les entiers naturels) qui permet un algorithme de division avec quotient et reste, le reste ayant une mesure strictement inférieure.

Principe

Existence d'une fonction de taille δ telle que pour tous a et b ≠ 0 il existe q et r avec a = bq + r et soit r = 0 soit δ(r) < δ(b) ; cela autorise la division itérative et le calcul algorithmique du pgcd.

Démonstration

Z avec la valeur absolue comme δ est euclidien : la division d'entiers fournit quotient et reste de valeur absolue strictement plus petite ; les anneaux de polynômes k[x] sur un corps utilisent le degré comme δ et admettent la division polynomiale avec reste.

Mauvaise application

Supposer que la fonction euclidienne doit être la valeur absolue ou le degré ; différents domaines peuvent admettre des fonctions euclidiennes moins évidentes, et certains PID ne sont pas euclidiens selon des mesures naïves.

Conséquence

Un domaine euclidien est un PID et donc un UFD ; les conséquences pratiques incluent un algorithme d'Euclide effectif pour les pgcd, la génération explicite d'idéaux et des méthodes algorithmiques de factorisation en une variable.

Inversion

Un domaine intègre dépourvu de toute fonction euclidienne appropriée : ces domaines peuvent néanmoins être PID ou UFD, mais le processus de division algorithmique et l'algorithme simple du pgcd peuvent faire défaut.

Limite

Ne concerne que les domaines intègres et exige une fonction euclidienne bien comportée à valeurs dans un ensemble bien ordonné comme les entiers naturels ; n'inclut pas les domaines où la division avec un reste strictement plus petit ne peut être garantie.

Tension sémantique

Tension avec PID et UFD : Euclidien ⇒ PID ⇒ UFD, mais les réciproques échouent généralement ; décider si un PID admet une fonction euclidienne peut être délicat et dépend de l'arithmétique du ring.

Synthèse

Un domaine euclidien est un domaine intègre muni d'une fonction de taille assurant la division avec reste, fournissant des méthodes constructives de pgcd et impliquant la principialité des idéaux ainsi que la factorisation unique.