Un dominio euclidiano es un dominio íntegro dotado de una función euclidiana (hacia los enteros no negativos) que permite un algoritmo de división con cociente y resto, con resto de medida estrictamente menor.

Principio

Existencia de una función de tamaño δ tal que para cualesquiera a y b ≠ 0 existen q y r con a = bq + r y o bien r = 0 o bien δ(r) < δ(b); esto posibilita la división iterada y el cálculo algorítmico del mcd.

Demostración

Z con el valor absoluto como δ es euclidiano: la división de enteros da cocientes y restos con valor absoluto estrictamente menor; los anillos de polinomios k[x] sobre un cuerpo usan el grado como δ y admiten división polinómica con resto.

Aplicación incorrecta

Suponer que la función euclidiana ha de ser necesariamente el valor absoluto o el grado; distintos dominios pueden admitir funciones euclidianas no evidentes, y algunos PIDs no son euclidianos bajo medidas ingenuas.

Consecuencia

Un dominio euclidiano es un PID y por tanto un UFD; consecuencias prácticas incluyen un algoritmo de Euclides efectivo para mcd, generación explícita de ideales y métodos algorítmicos de factorización en una variable.

Inversión

Un dominio íntegro carente de una función euclidiana adecuada: tales dominios pueden seguir siendo PID o UFD, pero el proceso de división algorítmica y el sencillo algoritmo del mcd pueden no existir.

Límite

Se aplica solo a dominios íntegros y exige una función euclidiana bien comportada en un conjunto bien ordenado como los enteros no negativos; no incluye dominios donde no se pueda garantizar división con resto estrictamente menor.

Tensión semántica

Tensión con PID y UFD: Euclidiano ⇒ PID ⇒ UFD, pero las recíprocas fallan en general; decidir si un PID admite una función euclidiana puede ser sutil y depende de la aritmética del anillo.

Síntesis

Un dominio euclidiano es un dominio íntegro provisto de una función de tamaño que garantiza la división con resto y permite métodos constructivos para mcd, implicando la principalidad de ideales y la factorización única.