Un domaine intègre est un anneau commutatif unitaire qui n'admet pas de diviseurs de zéro non nuls ; équivalemment, la propriété d'annulation est satisfaite pour les facteurs non nuls.

Principe

L'absence de diviseurs de zéro non nuls garantit la possibilité d'annuler : si a·b = a·c avec a ≠ 0 alors b = c, ce qui permet souvent d'immerger le domaine dans un corps de fractions.

Démonstration

Les entiers forment un domaine intègre : deux entiers non nuls ne peuvent pas avoir un produit nul, ce qui soutient la factorisation unique en nombres premiers ; les anneaux de polynômes sur un corps sont aussi des domaines intègres, le degré se comportant comme attendu sous la multiplication.

Mauvaise application

Supposer que tout domaine intègre est un domaine principal d'idéaux ou un corps ; beaucoup de domaines intègres n'ont pas d'idéaux principaux ni d'inverses multiplicatifs pour tous les éléments non nuls.

Conséquence

On peut construire un corps de fractions en inversant formellement les éléments non nuls, et des notions algébriques telles que premiers, irréductibles et divisibilité deviennent pertinentes et transférables.

Inversion

Un anneau commutatif qui admet des diviseurs de zéro ou un anneau non commutatif : l'annulation échoue et un corps de fractions ne peut pas être construit de manière usuelle.

Limite

Exige la commutativité et une identité multiplicative ; exclut les anneaux avec diviseurs de zéro et les cadres non associatifs ; certains auteurs insistent sur la présence explicite d'une unité, d'autres varient la convention.

Tension sémantique

Tension avec des notions comme PID et UFD : le domaine intègre est la catégorie ambiante, mais des propriétés supplémentaires (principalité, fonction euclidienne) sont nécessaires pour obtenir des résultats plus forts sur la factorisation ou les idéaux.

Synthèse

Un domaine intègre est un anneau commutatif unitaire sans diviseurs de zéro non nuls ; c'est le cadre minimal assurant l'annulation et permettant la formation d'un corps de fractions et une notion cohérente de divisibilité.