Ein Integritätsbereich ist ein kommutativer Ring mit Eins, der keine von Null verschiedenen Nullteiler besitzt; äquivalent: die Kürzbarkeit gilt für Nichtnullteile.

Prinzip

Das Fehlen von Nichtnull-Nullteilern sichert die Kürzbarkeit: wenn a·b = a·c und a ≠ 0, dann b = c, sodass sich der Ring oft in einen Quotientenkörper einbetten lässt.

Demonstration

Die ganzen Zahlen bilden einen Integritätsbereich: es gibt keine zwei von null verschiedenen ganzen Zahlen mit Produkt null, was die eindeutige Primfaktorzerlegung stützt; Polynomringe über Körpern sind ebenfalls Integritätsbereiche, wobei der Grad das erwartete Verhalten unter Multiplikation zeigt.

Fehlanwendung

Zu glauben, jeder Integritätsbereich sei ein Hauptidealbereich oder ein Körper; viele Integritätsbereiche haben weder alle Ideale primär-generiert noch besitzen alle Elemente Multiplikative Inversen.

Konsequenz

Man kann durch formales Invertieren der Nichtnull-Elemente einen Quotientenkörper bilden, und Begriffe wie Prim- und Irreduziblelemente sowie Teilbarkeit werden wohl definiert und übertragbar.

Umkehrung

Ein kommutativer Ring mit Nullteilern oder ein nichtkommutativer Ring: dort versagt die Kürzbarkeit und ein Quotientenkörper kann nicht auf übliche Weise gebildet werden.

Abgrenzung

Voraussetzung sind Kommutativität und ein multiplikatives Neutralelement; Ringe mit Nullteilern und nichtassoziative Zusammenhänge sind ausgeschlossen; manche Autoren verlangen ausdrücklich die Einheit als Konvention.

Semantische Spannung

Spannung zum Begriff PID und UFD: Integritätsbereiche sind die umgebende Kategorie, benötigen aber zusätzliche Eigenschaften (Principalität, euklidische Funktion) für stärkere Faktorisierungs- oder Idealtheorie-Ergebnisse.

Synthese

Ein Integritätsbereich ist ein kommutativer, unitaler Ring ohne Nichtnull-Nullteiler; er ist das minimale Umfeld, das Kürzbarkeit sichert, die Bildung eines Quotientenkörpers erlaubt und eine konsistente Vorstellung von Teilbarkeit bietet.