Le groupe formé par toutes les matrices carrées d'ordre n inversibles sur un corps ou un anneau donnés, avec la loi de groupe étant la multiplication matricielle ; les éléments sont exactement les matrices qui possèdent une inverse bilatère de même taille sur la base choisie.

Principe

L'inversibilité vis-à-vis de la multiplication matricielle organise l'ensemble des matrices n×n en un groupe : clôture par produit, associativité hérité de la multiplication matricielle, la matrice identité comme élément neutre, et existence d'inverses caractérisée par un déterminant non nul sur un corps ou par être une unité sur un anneau.

Démonstration

GL(2,R) : l'ensemble des matrices 2×2 réelles de déterminant non nul. Exemple : A = [[cosθ, -sinθ],[sinθ, cosθ]] ∈ GL(2,R); A·A^{-1}=I et det(AB)=det(A)det(B) garantit que le produit reste inversible quand les déterminants sont non nuls.

Mauvaise application

Inclure des matrices singulières (déterminant nul) comme membres, ou supposer que GL(n,·) est abélien et que la multiplication matricielle commute ; confondre GL(n) avec l'espace de toutes les matrices n×n sans vérifier l'inversibilité.

Conséquence

Bien identifié, GL(n,F) est un groupe de symétrie fondamental agissant fidèlement sur l'espace vectoriel n-dimensionnel sur F ; le déterminant fournit un homomorphisme det: GL(n,F)→F^× et de nombreux résultats structurels (sous-groupes, représentations, structure d'algèbreicité sur un corps) découlent des propriétés de groupe et d'algèbre linéaire.

Inversion

L'ensemble de toutes les matrices n×n (un monoïde) obtenu en abandonnant la condition d'inversibilité ; ou considérer le groupe affine qui inclut des translations en plus des applications linéaires — ce sont des structures plus larges avec des propriétés algébriques différentes.

Limite

n est fixé et la base (corps ou anneau) doit être précisée ; sur un anneau l'inversibilité exige une inverse multiplicative dans l'anneau des coefficients, et GL(n,R) sur un anneau non commutatif demande de la prudence entre inverses à gauche/droite. N'inclut pas les matrices singulières ni les applications linéaires entre espaces de dimensions différentes sauf extension explicite.

Tension sémantique

« Général linéaire » comme groupe entier contraste avec l'usage de « groupe linéaire » pour désigner tout sous-groupe de GL(n). Tension aussi entre voir GL(n) comme groupe abstrait et comme groupe algébrique ou de Lie lorsque l'on ajoute une topologie ou une structure schématique.

Synthèse

Le Groupe Linéaire Général réunit la notion d'inversibilité linéaire et la structure de groupe : c'est le groupe de toutes les matrices n×n inversibles sur une base donnée, caractérisé par la clôture des inverses (condition sur le déterminant ou les unités) et servant de groupe ambiant de symétrie pour l'algèbre linéaire n-dimensionnelle.