El grupo de todas las matrices n×n invertibles sobre un cuerpo o anillo especificado, con la operación de grupo dada por la multiplicación de matrices; sus elementos son exactamente las matrices que poseen una inversa bilateral del mismo tamaño sobre la base elegida.

Principio

La invertibilidad respecto de la multiplicación matricial organiza el conjunto de matrices n×n en un grupo: cierre bajo el producto, asociatividad heredada de la multiplicación de matrices, la matriz identidad como elemento neutro y existencia de inversas, caracterizada por determinante distinto de cero sobre un cuerpo o por ser una unidad sobre un anillo.

Demostración

GL(2,R): el conjunto de matrices reales 2×2 cuyo determinante es distinto de cero. Ejemplo: A = [[cosθ, -sinθ],[sinθ, cosθ]] ∈ GL(2,R); A·A^{-1}=I y det(AB)=det(A)det(B) asegura que los productos permanecen invertibles cuando los determinantes son no nulos.

Aplicación incorrecta

Incluir matrices singulares (determinante cero) como miembros, o asumir que GL(n,·) es abeliano y que la multiplicación matricial conmuta; confundir GL(n) con el espacio de todas las matrices n×n sin comprobar la invertibilidad.

Consecuencia

Correctamente identificado, GL(n,F) es un grupo de simetría fundamental que actúa fielmente sobre el espacio vectorial de dimensión n sobre F; el determinante proporciona un homomorfismo det: GL(n,F)→F^× y de él derivan muchos resultados estructurales (subgrupos, representaciones, estructura de grupo algebraico sobre cuerpos).

Inversión

El conjunto de todas las matrices n×n (un monoide) que se obtiene al eliminar la exigencia de invertibilidad; o considerar el grupo afín, que incluye traslaciones además de transformaciones lineales —estructuras más amplias con propiedades algebraicas distintas.

Límite

n es fijo y la base (cuerpo o anillo) debe especificarse; sobre anillos la invertibilidad exige una inversa multiplicativa en el anillo de coeficientes, y GL(n,R) sobre un anillo no conmutativo requiere cuidado entre inversas a izquierda/derecha. No incluye matrices singulares ni aplicaciones lineales entre espacios de distinta dimensión salvo extensión explícita.

Tensión semántica

“General linear” como el grupo completo contrasta con usos de “linear group” para cualquier subgrupo de GL(n). También hay tensión entre ver GL(n) como grupo abstracto y como grupo algebraico o de Lie cuando se añade topología o estructura de variedad.

Síntesis

El Grupo Lineal General integra la noción de invertibilidad lineal con estructura de grupo: es el grupo de todas las matrices n×n invertibles sobre una base dada, caracterizado por el cierre frente a inversos (determinante o condición de unidad), y actúa como el grupo ambiente de simetrías para la álgebra lineal n-dimensional.