Un Groupe De Permutations est un sous-groupe du groupe symétrique Sym(X) d'un ensemble X ; ses éléments sont des bijections (permutations) de X et l'opération de groupe est la composition de permutations.

Principe

Réaliser la structure de groupe de façon concrète comme permutations d'un ensemble : la fermeture par composition et l'existence d'inverses garantissent que l'application successive de permutations correspond à la multiplication du groupe, transformant des propriétés algébriques en actions combinatoires sur X.

Démonstration

S_n est le groupe de permutations complet sur {1,...,n} ; un sous-groupe cyclique engendré par un n-cycle (1 2 ... n) est un groupe de permutations isomorphe à Z/nZ agissant transitivement sur les n points.

Mauvaise application

Qualifier de groupe de permutations une simple collection de bijections sans vérifier la fermeture par composition ou l'existence d'inverses, ou confondre un groupe de permutations avec un groupe abstrait sans préciser l'ensemble sous-jacent, constitue une mauvaise utilisation.

Conséquence

Voir un groupe comme groupe de permutations fournit des actions explicites, des décompositions en orbites et permet d'appliquer des techniques combinatoires ; d'après le théorème de Cayley tout groupe fini s'immerge dans un groupe symétrique, ainsi les groupes de permutations offrent des réalisations concrètes universelles.

Inversion

L'inverse consiste à traiter un groupe abstrait sans représentation par permutations fidèle ; les groupes abstraits ne sont pas nécessairement donnés concrètement sous forme de permutations sauf s'ils sont plongés via un homomorphisme dans un Sym(X).

Limite

Les groupes de permutations supposent un ensemble particulier X et ses bijections ; on distingue les groupes transitifs, primitifs, imprimitifs, réguliers et les cas fini/infinis. Sont exclus les ensembles de bijections qui ne sont pas fermés ou les structures d'autres catégories (applications linéaires, homéomorphismes) sauf si cela est précisé.

Tension sémantique

Tension entre voir un groupe comme objet algébrique abstrait et comme groupe de permutations : le second fixe une action concrète sur des points alors que le premier privilégie la présentation par générateurs et relations indépendamment d'un ensemble.

Synthèse

Un Groupe De Permutations est une réalisation concrète de la symétrie : un sous-groupe de Sym(X) dont les éléments sont des permutations de X, reliant les axiomes algébriques abstraits à des actions point-par-point et à une structure combinatoire explicite.