Un Grupo De Permutaciones es un subgrupo del grupo simétrico Sym(X) sobre un conjunto X; sus elementos son biyecciones (permutaciones) de X y la operación de grupo es la composición de permutaciones.

Principio

Realizar la estructura de grupo de forma concreta como permutaciones de un conjunto: el cierre bajo composición y la existencia de inversos garantizan que la aplicación sucesiva de permutaciones corresponde a la multiplicación del grupo, de modo que propiedades algebraicas se traducen en acciones combinatorias sobre X.

Demostración

S_n es el grupo de permutaciones completo sobre {1,...,n}; un subgrupo cíclico generado por un n-ciclo (1 2 ... n) es un grupo de permutaciones isomorfo a Z/nZ que actúa transitivamente sobre los n puntos.

Aplicación incorrecta

Llamar grupo de permutaciones a una mera colección de biyecciones sin verificar cierre bajo composición o existencia de inversos, o confundir un grupo de permutaciones con un grupo abstracto sin especificar el conjunto subyacente, es un uso indebido.

Consecuencia

Ver un grupo como grupo de permutaciones proporciona acciones explícitas, descomposiciones en órbitas y permite aplicar técnicas combinatorias; por el teorema de Cayley, cualquier grupo finito se embebe en algún grupo simétrico, por lo que los grupos de permutaciones ofrecen realizaciones concretas universales.

Inversión

El reverso consiste en tratar un grupo abstracto sin representación por permutaciones fiel; los grupos abstractos no tienen por qué darse concretamente como permutaciones salvo que se embeban mediante un homomorfismo en Sym(X).

Límite

Los grupos de permutaciones presuponen un conjunto concreto X y sus biyecciones; se distinguen grupos transitivos, primitivos, imprimitivos, regulares y los casos finitos/infinito. Se excluyen colecciones de biyecciones que no sean cerradas o estructuras de otras categorías (aplicaciones lineales, homeomorfismos) salvo que se especifique.

Tensión semántica

Hay tensión entre ver un grupo como objeto algebraico abstracto y verlo como grupo de permutaciones: el segundo fija una acción concreta sobre puntos mientras que el primero enfatiza presentaciones por generadores y relaciones independientes de cualquier conjunto.

Síntesis

Un Grupo De Permutaciones es una realización concreta de la simetría: un subgrupo de Sym(X) cuyos elementos son permutaciones de X, que vincula los axiomas de grupo abstractos con acciones puntuales y estructura combinatoria explícita.