La clausura definible dcl(A) de un conjunto A en una estructura M es el conjunto de elementos de M que quedan especificados de manera única por alguna fórmula de primer orden con parámetros en A; equivalentemente, b ∈ dcl(A) si existe una fórmula φ(x,a) con a en A tal que M ⊨ φ(b,a) y M ⊨ ∀x(φ(x,a) → x=b).

Principio

La clausura definible recoge aquellos elementos que pueden ser nombrados por una descripción de primer orden usando A como parámetros y que están determinados de manera única por dicha descripción dentro de la estructura.

Demostración

En un campo algebraicamente cerrado visto en el lenguaje de anillos, la clausura definible del campo primo es el campo primo mismo, pues los elementos fuera de él no son definibles de forma única sin parámetros; en estructuras con funciones de Skolem, dcl(A) suele coincidir con el cierre bajo esas funciones.

Aplicación incorrecta

Tratar la clausura definible como idéntica a la clausura algebraica o al conjunto de elementos fijados por Aut(M/A): aunque relacionadas, estas nociones difieren — la clausura algebraica trata conjuntos finitos de soluciones y los conjuntos fijos tratan invariancia más que definibilidad única.

Consecuencia

La clausura definible ofrece una noción concreta y de primer orden de dependencia y nombramiento: genera a menudo una pregeometría, afecta a las relaciones de independencia y determina qué elementos son definibles a partir de A.

Inversión

La idea inversa es la independencia definible o los elementos deliberadamente fuera de dcl(A): un elemento fuera de dcl(A) no puede ser fijado de manera única por A y permanece indeterminado respecto a esos parámetros.

Límite

dcl depende del lenguaje y del modelo ambiente: expandir el lenguaje o cambiar el modelo puede aumentar o disminuir dcl(A); solo captura definibilidad única, no dependencia algebraica finita salvo que el lenguaje lo imponga.

Tensión semántica

Existe tensión entre clausura definible, clausura algebraica y conjuntos fijos model-teóricos: cada noción mide un tipo diferente de definibilidad o dependencia y pueden coincidir solo en teorías o lenguajes concretos.

Síntesis

La clausura definible es el conjunto de elementos nombrados de forma única por fórmulas de primer orden con parámetros en A; formaliza qué elementos están determinados por A y desempeña un papel central en el cálculo de independencia y definibilidad.