Der definierbare Abschluss dcl(A) einer Menge A in einer Struktur M ist die Menge der Elemente von M, die durch eine Formel erster Ordnung mit Parametern aus A eindeutig spezifiziert sind; äquivalent gilt b ∈ dcl(A) genau dann, wenn es eine Formel φ(x,a) mit a aus A gibt mit M ⊨ φ(b,a) und M ⊨ ∀x(φ(x,a) → x=b).

Prinzip

Der definierbare Abschluss erfasst jene Elemente, die mittels einer erstordnungslogischen Beschreibung unter Verwendung von A als Parameter benannt werden können und innerhalb der Struktur eindeutig durch diese Beschreibung bestimmt sind.

Demonstration

In einem algebraisch abgeschlossenen Körper im Sprache der Ringe ist der definierbare Abschluss des Primkörpers der Primkörper selbst, da Elemente außerhalb davon ohne Parameter nicht eindeutig definierbar sind; in Strukturen mit Skolem-Funktionen stimmt dcl(A) oft mit dem Abschluss unter diesen Funktionen überein.

Fehlanwendung

dcl mit algebraischem Abschluss oder mit der Menge der von Aut(M/A) fixierten Elemente gleichzusetzen: Obwohl verwandt, unterscheiden sich diese Begriffe — algebraischer Abschluss betrifft endliche Lösungsmengen, Fixpunktmengen Invarianz statt eindeutige Definierbarkeit.

Konsequenz

Der definierbare Abschluss liefert eine konkrete erstordnungslogische Vorstellung von Abhängigkeit und Benennung: Er erzeugt in vielen Kontexten eine Prägeometrie, beeinflusst Unabhängigkeitsrelationen und bestimmt, welche Elemente aus A parametrierbar definierbar sind.

Umkehrung

Das Gegenteil ist definierbare Unabhängigkeit oder Elemente, die absichtlich nicht in dcl(A) liegen: Ein Element außerhalb von dcl(A) kann nicht eindeutig durch A festgelegt werden und bleibt gegenüber diesen Parametern unbestimmt.

Abgrenzung

dcl hängt von der Sprache und dem umgebenden Modell ab: Eine Erweiterung der Sprache oder ein Modellwechsel kann dcl(A) vergrößern oder verkleinern; es erfasst nur eindeutige Definierbarkeit, nicht notwendigerweise endliche algebraische Abhängigkeit, sofern die Sprache dies nicht erzwingt.

Semantische Spannung

Es besteht eine Spannung zwischen definierbarem Abschluss, algebraischem Abschluss und modelltheoretischen Fixpunktmengen: Jede dieser Notionen misst eine andere Art von Definierbarkeit oder Abhängigkeit und kann nur in speziellen Theorien oder Sprachen zusammenfallen.

Synthese

Der definierbare Abschluss ist die Menge der Elemente, die durch erstordnungslogische Formeln mit Parametern aus A eindeutig benannt werden; er formalisiert, welche Elemente deterministisch durch A festgelegt sind und spielt eine zentrale Rolle in der Unabhängigkeits- und Definierbarkeitsrechnung.