Criterio para la reducibilidad completa de representaciones de un grupo finito G sobre un cuerpo k: la álgebra de grupo kG es semisimple (equivalente a que toda representación de dimensión finita sea totalmente reducible) precisamente cuando la característica de k no divide el orden de G.

Principio

Promediar sobre el grupo usando una suma normalizada produce complementos invariantes por G cuando existen los denominadores; la existencia del idempotente promediado es la idea organizadora detrás de la semisimplicidad.

Demostración

Si char(k) no divide |G|, entonces para cualquier subrepresentación U ⊆ V se puede promediar una proyección sobre U a lo largo de G para obtener una proyección G-equivarante, escindiendo la inclusión y dando V ≅ U ⊕ U'. Así toda representación se descompone en suma directa de irreducibles.

Aplicación incorrecta

Usar Maschke cuando la característica del cuerpo divide |G| (caso modular): el promediado falla porque |G| es cero en k, y las representaciones no tienen por qué ser completamente reducibles.

Consecuencia

Garantiza la semisimplicidad de las álgebras de grupo en el caso no modular, permitiendo la descomposición en módulos simples, la teoría de caracteres y muchos resultados estructurales en teoría de representaciones de grupos finitos.

Inversión

En el caso modular (característica que divide |G|) aparecen estructuras más ricas con módulos indecomponibles no simples, cubiertas proyectivas y descomposición en bloques en lugar de reducibilidad completa.

Límite

Se aplica a grupos finitos y representaciones de dimensión finita sobre cuerpos; la hipótesis clave es que char(k) ∤ |G|; grupos infinitos o representaciones infinitas requieren otras herramientas.

Tensión semántica

Tensión entre la semisimplicidad de Maschke (no modular) y la teoría modular de representaciones: Maschke ofrece una descomposición limpia cuando existen denominadores, mientras que la situación modular produce extensiones sutiles y bloques.

Síntesis

El teorema de Maschke afirma que, para grupos finitos sobre cuerpos cuya característica no divide el orden del grupo, el promediado produce complementos invariantes y por tanto la reducibilidad completa de las representaciones; la ausencia de la condición sobre el denominador conduce a la complejidad modular.