Kriterium für vollständige Reduzierbarkeit von Darstellungen einer endlichen Gruppe G über einem Körper k: Die Gruppenalgebra kG ist semisimpel (äquivalent: jede endlich-dimensionale Darstellung ist vollständig reduzibel) genau dann, wenn die Charakteristik von k nicht |G| teilt.

Prinzip

Das Über-Averagieren über die Gruppe mittels einer normierten Summe erzeugt G-invariante Komplemente, sofern Nenner vorhanden sind; die Existenz eines gemittelten Idempotenten ist die ordnende Idee hinter der Semisimpelität.

Demonstration

Ist char(k) kein Teiler von |G|, so kann für jedes G-Teilmodul U⊆V eine Projektion auf U über G gemittelt werden, um eine G-äquivariante Projektion zu erhalten, die die Einbindung splittet und V ≅ U ⊕ U' liefert. Damit zerlegt sich jede Darstellung in irreduzible Summanden.

Fehlanwendung

Maschke anzuwenden, wenn die Körpercharakteristik |G| teilt (modularer Fall): Averaging schlägt fehl, weil |G| in k = 0 ist, und Darstellungen müssen nicht vollständig reduzibel sein.

Konsequenz

Führt zur Semisimpelität der Gruppenalgebra im nicht-modularen Fall, erlaubt Zerlegung in einfache Moduln, Begründet die Charaktertheorie und viele strukturelle Resultate der Darstellungstheorie endlicher Gruppen.

Umkehrung

Im modularen Fall (char teilt |G|) entstehen reichere Strukturen mit indekomponierbaren nicht-einfachen Moduln, projektiven Hüllen und Blockzerlegungen statt vollständiger Reduzierbarkeit.

Abgrenzung

Gilt für endliche Gruppen und endlich-dimensionale Darstellungen über Körpern; die Schlüsseltbedingung ist char(k) ∤ |G|; für unendliche Gruppen oder unendlich-dimensionale Darstellungen sind andere Werkzeuge nötig.

Semantische Spannung

Spannung zwischen Maschkes Semisimpelität (nicht-modular) und modularer Darstellungstheorie: Maschke liefert eine saubere Zerlegung, wenn Nenner existieren, während die modulare Situation feine Erweiterungen und Blockstrukturen erzeugt.

Synthese

Das Maschke-Theorem besagt, dass bei endlichen Gruppen über Körpern, deren Charakteristik die Gruppenordnung nicht teilt, Mitteln invariant-komplementäre Projektionen erzeugt und damit vollständige Reduzierbarkeit der Darstellungen bewirkt; fehlt die Nennerbedingung, entsteht modulare Komplexität.