Un punto x en un esquema X cuyo anillo local O_{X,x} no es un anillo local regular; equivalente a que la dimensión de empinamiento (la dimensión de m_x/m_x^2) excede estrictamente la dimensión de Krull de O_{X,x}, indicando una singularidad local en sentido de álgebra conmutativa.

Principio

La regla organizadora es la regularidad del anillo local: un anillo local es regular exactamente cuando su ideal maximal puede ser generado por dim O_{X,x} elementos. El fallo de esta igualdad señala direcciones adicionales en el espacio tangente de Zariski y por tanto un punto singular.

Demostración

Instancia concreta: la cúspide dada por la curva afín Spec k[t^2,t^3] en el origen. Su anillo local requiere relaciones suplementarias y la dimensión del espacio tangente excede la dimensión geométrica, por lo que el origen es un punto no regular. Curvas planeas como y^2 = x^3 muestran un comportamiento análogo.

Aplicación incorrecta

Etiquetar erróneamente como 'no regular' todo punto con múltiples ramas incidentes sin comprobar la dimensión de empinamiento local; por ejemplo, un nudo y una cúspide son ambos singulares pero difieren en sus propiedades algebraicas locales y deben verificarse mediante el anillo local.

Consecuencia

La presencia de puntos no regulares impide que el esquema sea liso; amplía los espacios tangentes, complica la teoría de deformaciones y obstruye el uso directo de herramientas que requieren regularidad (por ejemplo ciertos teoremas de anulación o descripciones simples de complejos dualizantes).

Inversión

Un punto regular es aquel donde O_{X,x} es un anillo local regular: la dimensión de empinamiento coincide con la dimensión de Krull, el espacio tangente tiene la dimensión mínima posible y localmente el esquema es no singular (liso sobre un cuerpo si además se cumplen condiciones de separabilidad).

Límite

El concepto se aplica punto por punto a esquemas noetherianos (o localmente noetherianos) mediante sus anillos locales. No captura por sí mismo patologías no reducidas ni fallos de normalidad; un punto puede ser no regular mientras el esquema sea reducido o incluso normal. La detección exige cálculos de álgebra local (profundidad, dimensión de empinamiento) y puede ser sutil fuera del marco noetheriano.

Tensión semántica

Conceptos cercanos: 'punto singular', 'punto no normal' y 'punto no reducido'. 'No regular' es una condición algebraica sobre el anillo local (generadores del ideal maximal frente a la dimensión), mientras que 'singular' suele emplearse geométricamente para el fallo de liso; las nociones se solapan pero enfatizan comprobaciones técnicas distintas.

Síntesis

Un Punto No Regular es la firma algebraica local de una singularidad: un punto donde falla la igualdad regulera entre el número mínimo de generadores del ideal maximal y la dimensión del anillo, produciendo un espacio tangente de Zariski mayor y las obstrucciones geométricas y de deformación asociadas.