Ein Punkt x auf einem Schema X, dessen lokaler Ring O_{X,x} kein regulärer lokaler Ring ist; äquivalent dazu ist die Einbettungsdimension (die Dimension von m_x/m_x^2) strikt größer als die Krulldimension von O_{X,x}, was auf eine lokale Singularität in kommutativ-algebraischer Hinsicht hinweist.

Prinzip

Regulärität eines lokalen Rings ist das ordnende Prinzip: Ein lokaler Ring ist genau dann regulär, wenn sein maximales Ideal von dim O_{X,x} Elementen erzeugt werden kann. Das Scheitern dieser Gleichung signalisiert zusätzliche Richtungen im Zariski-Tangentialraum und damit einen singulären Punkt.

Demonstration

Konkretes Beispiel: die Spitze einer Kurve gegeben durch Spec k[t^2,t^3] (die 'Cusp') im Ursprung. Der lokale Ring besitzt eine größere Einbettungsdimension als die geometrische Dimension, daher ist der Ursprung nicht regulär. Ebenfalls typisch sind Kurvensingularitäten wie y^2 = x^3.

Fehlanwendung

Fälschlicherweise jeden Punkt mit mehreren Zweigen als 'nicht regulär' zu bezeichnen, ohne die lokale Einbettungsdimension zu prüfen; etwa unterscheiden sich Knoten und Cusp deutlich in ihrer lokalen Algebra und verlangen konkrete Prüfungen am lokalen Ring.

Konsequenz

Nichtreguläre Punkte verhindern, dass das Schema glatt ist; sie vergrößern Tangentialräume, erschweren die Deformationstheorie und verhindern die direkte Anwendung bestimmter Werkzeuge, die Regulärität voraussetzen (zum Beispiel gewisse Vanishing-Ergebnisse oder einfache Beschreibungen der dualisierenden Komplexe).

Umkehrung

Ein regulärer Punkt ist dadurch charakterisiert, dass O_{X,x} ein regulärer lokaler Ring ist: Einbettungsdimension gleich Krulldimension, Tangentialraum minimal möglich, und lokal ist das Schema nonsingular (glatt über einem Körper unter Zusatzbedingungen zur Separabilität).

Abgrenzung

Der Begriff wird punktweise für noethersche Schemata (oder lokal noethersche) über ihre lokalen Ringe definiert. Er erfasst nicht automatisch nichtreduzierte Pathologien oder Ausfälle der Normalität; ein Punkt kann nichtregulär sein, obwohl das Schema reduziert oder sogar normal ist. Die Feststellung erfordert lokale Algebra (Tiefe, Einbettungsdimension) und ist außerhalb noetherscher Kontexte heikel.

Semantische Spannung

Nahe Begriffe sind 'singulärer Punkt', 'nicht normaler Punkt' und 'nicht reduzierter Punkt'. 'Nicht regulär' ist eine algebraische Bedingung am lokalen Ring (Generatorenzahl des maximalen Ideals vs. Dimension), während 'singulär' oft geometrisch für das Ausbleiben von Glattheit verwendet wird; die Begriffe überlappen, fokussieren aber unterschiedliche technische Prüfungen.

Synthese

Ein Nichtregulärer Punkt ist das lokale algebraische Zeichen einer Singularität: ein Punkt, an dem die reguläre Beziehung zwischen Anzahl der Erzeuger des maximalen Ideals und der Ringdimension versagt, was zu einem vergrößerten Zariski-Tangentialraum und den damit verbundenen geometrischen und deformationellen Problemen führt.