Una forma bilineal B: V×V→K en un espacio vectorial (o módulo) cuyo radical {v∈V | B(v,w)=0 para todo w∈V} es no trivial. Equivalente: su matriz de Gram (en alguna base) es singular, por lo que B no induce un isomorfismo V→V* ni un emparejamiento no degenerado.

Principio

La degeneración es el fallo de la condición de no degeneración: existen vectores no nulos que son anulados por la forma. Esto impide identificar V con su dual, invertir la matriz de Gram y utilizar argumentos de ortogonalidad que requieren un radical trivial.

Demostración

Ejemplo concreto: en K^2, para (x,y) y (x',y') definir B((x,y),(x',y'))=x x'. La matriz de Gram en la base canónica es [[1,0],[0,0]] con determinante 0; el radical es el subespacio generado por (0,1). En geometría algebraica, una forma cuadrática en una familia que adquiere un radical en la fibra especial muestra esta degeneración.

Aplicación incorrecta

Tratar una forma degenerada como si indujera un isomorfismo V→V* (por ejemplo, invirtiendo su matriz de Gram) o usarla como producto interior sin comprobar no degeneración y positividad. Ignorar el radical al formar complementos ortogonales conduce a recuentos de dimensión erróneos.

Consecuencia

Reconocida correctamente, la degeneración obliga a reemplazar V por el cociente V/rad(B) para recuperar un emparejamiento no degenerado; la clasificación y las formas canónicas cambian (hay que registrar el radical), proliferan subespacios isotrópicos y las dualidades o descomposiciones ortogonales esperadas fallan o deben modificarse.

Inversión

Forma bilineal no degenerada: el radical es {0}, la matriz de Gram es invertible y V se empareja perfectamente con V*. Muchos teoremas estándar (como la ley de inercia de Sylvester para char≠2, descomposiciones ortogonales) se aplican en el caso inverso.

Límite

Se aplica a formas bilineales y cuadráticas sobre cuerpos y módulos; sobre anillos aparecen fenómenos adicionales (torsión, nilpotentes) que complican la noción de radical. En característica 2 hay que distinguir comportamientos simétricos y alternantes; en familias la degeneración puede variar (saltos de rango).

Tensión semántica

«Degenerado» se usa tanto para la singularidad lineal de la forma (radical no trivial) como informalmente para casos límite o patológicos; ello puede confundirse con «matriz de Gram singular», «isótropo» o «límite de formas no singulares». La tensión esencial está entre el núcleo algebraico y la idea heurística de colapso.

Síntesis

Una Forma Bilineal Degenerada es exactamente un emparejamiento bilineal con radical no cero; hay que identificar ese núcleo y, cuando proceda, pasar al cociente para recuperar estructura no degenerada. Este fallo único—existencia de vectores no nulos anulados por la forma—impacta la clasificación, la dualidad y el comportamiento en familias y exige un tratamiento explícito.