Eine Bilinearform B: V×V→K auf einem Vektorraum (oder Modul), deren Radikal {v∈V | B(v,w)=0 für alle w∈V} nichttrivial ist. Äquivalent ist die Gram-Matrix bezüglich einer Basis singulär, sodass B keine Isomorphie V→V* erzeugt und kein nichtdegeneriertes Paar bildet.

Prinzip

Entartung ist das Versagen der Nichtentartungsbedingung: es gibt Nichtnull-Vektoren, die von der Form annihiliert werden. Das verhindert die Identifikation mit dem Dualraum, das Invertieren der Gram-Matrix und viele Orthogonalitätsargumente, die ein triviales Radikal voraussetzen.

Demonstration

Konkretes Beispiel: Auf K^2 definiere B((x,y),(x',y'))=x x'. Die Gram-Matrix in der Standardbasis ist [[1,0],[0,0]] mit Determinante 0; das Radikal ist ⟨(0,1)⟩. In der algebraischen Geometrie zeigt eine quadratische Form, die in der Spezialfaser ein Radikal bekommt, dieselbe Entartung.

Fehlanwendung

Eine entartete Bilinearform fälschlich als Isomorphismus V→V* behandeln (z. B. Gram-Matrix invertieren) oder sie ohne Prüfung von Nichtentartung als Innenprodukt verwenden. Auch das Ignorieren des Radikals bei orthogonalen Komplementen führt zu falschen Dimensionsberechnungen.

Konsequenz

Richtig erkannt zwingt Entartung dazu, V durch das Quotient V/Rad(B) zu ersetzen, um ein nichtentartetes Paar zu erhalten; Klassifikation und kanonische Formen ändern sich (das Radikal ist zu vermerken), isotrope Unterräume treten häufiger auf, und erwartete Dualitäten oder orthogonale Zerlegungen versagen oder müssen angepasst werden.

Umkehrung

Nichtentartete Bilinearform: Das Radikal ist {0}, die Gram-Matrix ist invertierbar und V steht in perfekter Paarung mit V*. Viele Standardresultate (z. B. Sylvesters Trägheitsgesetz für char≠2, orthogonale Zerlegungen) gelten im umgekehrten Fall.

Abgrenzung

Gilt für bilineare und quadratische Formen über Körpern und Modulen; über Ringen treten zusätzliche Phänomene (Torsion, Nilpotente) auf, die die Radikaldefinition verkomplizieren. In Charakteristik 2 ist zwischen symmetrischem und alternierendem Verhalten zu unterscheiden; in Familien kann die Entartung als Rangsprung auftreten.

Semantische Spannung

»Entartet« wird sowohl für die lineare Singularität der Form (nichttriviales Radikal) als auch in informellem Sinn für Grenz- oder pathologische Fälle verwendet; es besteht eine Verwechslungsgefahr mit »singulärer Gram-Matrix«, »isotrop« oder »Grenze nicht-singulärer Formen«. Die zentrale Spannung liegt zwischen dem algebraischen Kernbegriff und der heuristischen Idee des Zusammenbruchs.

Synthese

Eine Entartete Bilinearform ist genau ein bilineares Paar mit nichtverschwindendem Radikal; man muss dieses Kernsubmodul identifizieren und ggf. das Quotient bilden, um nichtentartete Strukturen zurückzugewinnen. Dieses einzelne Versagen wirkt sich auf Klassifikation, Dualität und das Verhalten in Familien aus und erfordert explizite Behandlung.