El álgebra libre sobre una firma generada por un conjunto de variables cuyos elementos son términos sintácticos construidos a partir de símbolos de operación y variables, considerados sin imponer identidades más allá de las reglas sintácticas de formación.

Principio

Los términos se forman inductivamente a partir de variables y símbolos de operación; el álgebra de términos es el objeto inicial en la categoría de álgebras de la firma, codificando la propiedad universal de que toda asignación de variables se extiende de forma única a un homomorfismo.

Demostración

Para la firma de monoides (operación binaria ⋅ y unidad e), el álgebra de términos consiste en todas las palabras formales construidas con el símbolo binario, la constante e y variables; un homomorfismo desde este álgebra a cualquier monoide evalúa cada término formal en su valor semántico en ese monoide.

Aplicación incorrecta

Confundir el álgebra de términos con un cociente por identidades ecuacionales (por ejemplo, tratar términos sintácticamente distintos como iguales porque denotan lo mismo en un álgebra particular); así se pierde la propiedad de libertad e inicialidad.

Consecuencia

Los álgebra de términos proporcionan representantes sintácticos canónicos, sirven como modelos iniciales para especificar y razonar sobre estructuras algebraicas y convierten la sustitución y unificación en operaciones concretas correspondientes a homomorfismos.

Inversión

El reverso es un álgebra cociente obtenida imponiendo identidades (una teoría ecuacional) sobre el álgebra de términos; esto produce el álgebra libre de la teoría en lugar del álgebra cruda de términos y cambia la igualdad de sintáctica a ecuacional.

Límite

Se aplica a firmas finitas en aridad y trata términos solo modulo igualdad sintáctica; excluye cocientes por axiomas, constructores de términos de orden superior e identificaciones semánticas específicas de modelos particulares.

Tensión semántica

Álgebra De Términos está en tensión con el álgebra libre modulo identidades: la primera trata los términos puramente sintácticamente y es inicial en la categoría de todas las álgebras, mientras que la segunda codifica una teoría ecuacional dada e identifica términos en consecuencia.

Síntesis

Un Álgebra De Términos es el álgebra libre cruda de términos sintácticos para una firma, encarna la formación inductiva de términos y la propiedad universal de que las asignaciones de variables se extienden de forma única a homomorfismos.