Die freie Algebra über einer Signatur, erzeugt von einer Menge von Variablen, deren Elemente syntaktische Terme sind, gebaut aus Operationssymbolen und Variablen, ohne auferlegte Identitäten außer den syntaktischen Bildungsregeln.

Prinzip

Terme werden induktiv aus Variablen und Operationssymbolen gebildet; die Termalgebra ist das initiale Objekt in der Kategorie der Algebren zur Signatur und trägt die universelle Eigenschaft, dass jede Variablenzuweisung eindeutig zu einem Homomorphismus verlängert wird.

Demonstration

Für die Signatur von Monoiden (binäre Operation ⋅ und Einselement e) besteht die Termalgebra aus allen formalen Wörtern, die aus dem binären Symbol, der Konstante e und Variablen gebildet werden; ein Homomorphismus von dieser Termalgebra in ein Monoide wertet jeden formalen Term in dessen semantischem Wert aus.

Fehlanwendung

Die Termalgebra mit einem Quotienten durch äquationale Identitäten zu verwechseln (z. B. syntaktisch verschiedene Terme als gleich zu behandeln, weil sie in einer bestimmten Algebra dasselbe Element bezeichnen); dadurch gehen Freiheit und Initialität verloren.

Konsequenz

Termalgebren liefern kanonische syntaktische Repräsentanten, dienen als initiale Modelle zur Spezifikation und zum Rechnen über algebraische Strukturen und machen Substitution und Unifikation zu konkreten Operationen, die Homomorphismen entsprechen.

Umkehrung

Die Umkehrung ist eine quotionierte Algebra, die durch das Auferlegen von Identitäten (einer äquationalen Theorie) auf die Termalgebra entsteht; man erhält dann die freie Algebra der Theorie statt der rohen Termalgebra, und Gleichheit wird äquational anstatt syntaktisch.

Abgrenzung

Gilt für endlich-ärtige Signaturen und behandelt Terme nur modulo syntaktischer Gleichheit; schließt Quotienten durch Axiome, höherstufige Termkonstruktoren und semantische Identifikationen spezifischer Modelle aus.

Semantische Spannung

Termalgebra steht im Spannungsfeld zur freien Algebra modulo Identitäten: Erstere behandelt Terme rein syntaktisch und ist initial in der Kategorie aller Algebren, während Letztere eine vorgegebene äquationale Theorie kodiert und Terme entsprechend identifiziert.

Synthese

Eine Termalgebra ist die rohe freie Algebra der syntaktischen Terme zu einer Signatur, sie verkörpert die induktive Termbildung und die universelle Eigenschaft, dass Variablenzuweisungen eindeutig zu Homomorphismen erweitert werden.