La afirmación de que todo conjunto no vacío de enteros positivos (o más generalmente todo conjunto bien ordenable) tiene un elemento mínimo respecto al orden habitual; en la práctica se enuncia a menudo para los números naturales como 'todo subconjunto no vacío de N tiene un menor elemento'.

Principio

Existencia de elemento mínimo: la idea organizadora es que dominios bien ordenados y discretos permiten la inducción y argumentos por contraejemplo mínimo porque cualquier subconjunto no vacío contiene un menor miembro.

Demostración

Por ejemplo, si S es un subconjunto no vacío de los naturales, entonces S tiene un elemento mínimo m; este hecho sustenta pruebas por contraejemplo mínimo: suponer que una propiedad falla, tomar el menor n para el que falla y derivar una contradicción usando la minimalidad de n.

Aplicación incorrecta

Aplicar el principio del buen orden a órdenes parciales sin comprobar la bienfundación, o suponer que todo conjunto de números reales tiene un elemento menor en el orden usual — esto falla porque los reales no están bien ordenados por <.

Consecuencia

Justifica la inducción y muchas formas de descenso y argumentos de minimización en N; combinado con supuestos adecuados de teoría de conjuntos, es equivalente al Axioma de Elección en ciertas formulaciones y produce resultados de existencia estructural.

Inversión

La negación sería la existencia de un subconjunto no vacío sin elemento mínimo en el dominio considerado; para N esto no ocurre, pero en otros órdenes (como Z o R) pueden faltar mínimos y los mismos razonamientos fracasan.

Límite

Válido tal cual para el orden estándar de los números naturales y cualquier conjunto bien ordenado; no se aplica a órdenes parciales arbitrarios ni a órdenes que admiten sucesiones decrecientes o órdenes densos como los reales con <.

Tensión semántica

Tensión con nociones de densidad de orden y completitud: el principio del buen orden afirma discreción y existencia de mínimos, mientras que los órdenes densos enfatizan la ausencia de sucesores inmediatos y la carencia de mínimos para muchos subconjuntos.

Síntesis

El Principio del Buen Orden afirma que en dominios bien ordenados todo subconjunto no vacío tiene un elemento mínimo; esta propiedad sustenta la inducción, las pruebas por contraejemplo mínimo y los argumentos por descenso, aunque falla en órdenes densos o no bien fundados.