Die Aussage, dass jede nichtleere Menge positiver Ganzer (oder allgemeiner jede wohlordnungsfähige Menge) ein kleinstes Element bezüglich der üblichen Ordnung besitzt; praktisch formuliert man dies oft für die natürlichen Zahlen: 'jede nichtleere Teilmenge von N hat ein kleinstes Element.'

Prinzip

Existenz eines Minimalelements: Die ordnende Idee ist, dass diskrete, wohlgeordnete Bereiche Induktion und Argumente mit minimalen Gegenbeispielen erlauben, weil jede nichtleere Teilmenge ein kleinstes Element enthält.

Demonstration

Beispielsweise hat eine nichtleere Teilmenge S der natürlichen Zahlen ein kleinstes Element m; dies ist die Grundlage von Beweisen durch minimalen Gegenbeweis: man nimmt das kleinste n, für das die Eigenschaft fehlschlägt, und nutzt dessen Minimalität zur Widerspruchsherstellung.

Fehlanwendung

Das Wohlordnungsprinzip auf partiell geordnete Mengen anwenden, ohne Wohlgründigkeit zu prüfen, oder annehmen, dass jede Teilmenge der reellen Zahlen ein kleinstes Element in der üblichen Ordnung hat — was scheitert, weil die reellen Zahlen nicht wohlgeordnet sind unter <.

Konsequenz

Rechtfertigt Induktion und viele Formen von Abstiegs- und Minimalisierungsargumenten auf N; in Verbindung mit geeigneten mengentheoretischen Annahmen ist es in bestimmten Formulierungen äquivalent zum Auswahlaxiom und liefert strukturelle Existenzsätze.

Umkehrung

Die Verneinung wäre die Existenz einer nichtleeren Menge ohne kleinstes Element im betrachteten Bereich; für N ist das ausgeschlossen, aber in anderen Ordnungen (z. B. Z oder R) können minimale Elemente fehlen und die entsprechenden Argumente versagen.

Abgrenzung

Gilt so formuliert für die Standardordnung der natürlichen Zahlen und jede wohlgeordnete Menge; es gilt nicht für beliebige partielle Ordnungen oder für Ordnungen, die absteigende Folgen oder dichte Anordnungen wie die reellen Zahlen unter < zulassen.

Semantische Spannung

Spannung zu Begriffen wie Ordnungendichte und Vollständigkeit: Das Wohlordnungsprinzip betont Diskretheit und das Vorhandensein von Minima, während dichte Ordnungen das Fehlen unmittelbarer Nachfolger und vielfach von Minima betonen.

Synthese

Das Wohlordnungsprinzip besagt, dass in wohlgeordneten Bereichen jede nichtleere Teilmenge ein kleinstes Element besitzt; dies stützt Induktion, Beweise mittels minimaler Gegenbeispiele und Abstiegsargumente, während es in dichten oder nicht wohlgegründeten Ordnungen versagt.