Un invariante numérica igual al rango (dimensión sobre un cuerpo) de un grupo de homología o cohomología en un grado dado, o equivalentemente el rango de un módulo libre que aparece en una resolución mínima; cuenta ciclos o relaciones independientes en ese grado.

Principio

Los números de Betti se organizan por la homología: el i‑ésimo número de Betti es la dimensión de H_i(–;k) sobre un cuerpo elegido k (o el rango de la parte libre sobre Z), y se comporta aditivamente ante sumas directas y mediante sucesiones exactas largas en homología.

Demostración

Para un toro T^2, H_0, H_1, H_2 con coeficientes en un cuerpo k tienen dimensiones 1, 2, 1 respectivamente, así que b_0=1, b_1=2, b_2=1. En álgebra, los números de Betti graduados de un módulo sobre un anillo de polinomios registran los rangos de sumandos libres en cada grado de una resolución libre mínima graduada.

Aplicación incorrecta

Usar números de Betti calculados con coeficientes enteros como si detectaran torsión (registran solo los rangos de la parte libre), o tratar los números de Betti como sensibles a cambios menores del modelo sin fijar la homotopía o los coeficientes.

Consecuencia

Los números de Betti proporcionan medidas toscas pero calculables de la topología y la estructura algebraica: determinan la característica de Euler por sumas alternadas, detectan la presencia de ciclos no triviales y se incorporan en invariantes como polinomios de Poincaré.

Inversión

La medición complementaria son invariantes que detectan torsión (p. ej. subgrupos de torsión o invariantes basados en Ext) en lugar del rango libre; invertir el foco reemplaza el conteo de rangos por fenómenos de orden finito.

Límite

Depende del anillo de coeficientes: sobre un cuerpo los números de Betti son dimensiones de espacios vectoriales y se comportan bien; sobre Z hay que separar el rango (Betti) de la torsión. Para resoluciones mínimas normalmente se requieren hipótesis locales o graduadas para garantizar la unicidad de los rangos.

Tensión semántica

Los números de Betti suelen contrastarse con los números de Bass: los Betti cuentan sumandos proyectivos/libres en resoluciones, mientras que los Bass cuentan sumandos inyectivos. La tensión es entre información sobre el rango libre y sobre la torsión/inyectividad.

Síntesis

Un número de Betti es la dimensión de un grupo de homología/cohomología en un grado fijo (o el rango de sumandos libres en una resolución mínima); cuantifica ciclos o generadores independientes en ese grado y constituye un resumen numérico básico de la complejidad topológica o algebraica.