Eine numerische Invariante, gleich dem Rang (Dimension über einem Körper) einer Homologie‑ oder Kohomologiegruppe in einem gegebenen Grad oder äquivalent dem Rang eines freien Moduls in einer minimalen Auflösung; sie zählt unabhängige Zyklen oder Relationen in diesem Grad.

Prinzip

Betti‑Zahlen werden durch Homologie organisiert: die i‑te Betti‑Zahl ist die Dimension von H_i(–;k) über einem gewählten Körper k (oder der Rang des freien Teils über Z) und verhält sich additiv bei direkten Summen und über lange exakte Sequenzen in der Homologie.

Demonstration

Für einen Torus T^2 sind H_0, H_1, H_2 über einem Körper k von Dimension 1, 2, 1, also b_0=1, b_1=2, b_2=1. In der Algebra zeichnen die graduierten Betti‑Zahlen eines Moduls über einem Polynomring die Ränge freier Summanden in jedem Grad einer minimalen graduierten freien Auflösung auf.

Fehlanwendung

Betti‑Zahlen mit ganzzahligen Koeffizienten so zu verwenden, als würden sie Torsion erkennen (sie erfassen nur den Rang des freien Teils), oder Betti‑Zahlen als empfindlich gegenüber kleinen Modelländerungen zu behandeln, ohne Homotopie oder Koeffizienten festzulegen.

Konsequenz

Betti‑Zahlen liefern grobe, aber berechenbare Maße für topologische und algebraische Strukturen: sie bestimmen Euler‑Charakteristiken durch alternierende Summen, erkennen nichttriviale Zyklen und fließen in Invarianten wie Poincaré‑Polynomen ein.

Umkehrung

Die komplementäre Messung sind Invarianten, die Torsion detektieren (z. B. Torsionsuntergruppen oder Ext‑basierte Invarianten) statt freien Rang; die Umkehrung ersetzt Rangzählung durch Analyse von Ordnung‑Fenomenen.

Abgrenzung

Hängt vom Koeffizientenring ab: Über einem Körper sind Betti‑Zahlen Vektorraumdimensionen und gutartig; über Z muss man Rang (Betti) von Torsion trennen. Für minimale Auflösungen sind in der Regel lokale oder graduierte Hypothesen nötig, um Eindeutigkeit der Ränge sicherzustellen.

Semantische Spannung

Betti‑Zahlen stehen oft in Spannung zu Bass‑Zahlen: Betti zählen projektive/freie Summanden in Auflösungen, Bass zählen injektive Summanden. Die Spannung liegt zwischen Informationen über freien Rang und über Torsion/Injectivität.

Synthese

Eine Betti‑Zahl ist die Dimension einer Homologie‑ oder Kohomologiegruppe in einem festen Grad (oder der Rang freier Summanden in einer minimalen Auflösung); sie quantifiziert unabhängige Zyklen oder Erzeuger in diesem Grad und bildet eine grundlegende numerische Zusammenfassung der topologischen oder algebraischen Komplexität.