La firma (o inercia) de una forma bilineal simétrica o forma cuadrática sobre los reales es el triplete ordenado (p, n, z) que indica los números de valores propios positivos, negativos y cero de cualquier matriz simétrica que la represente, describiendo su patrón de definitud.

Principio

La ley de inercia de Sylvester: bajo transformaciones por congruencia sobre R, los recuentos p y n son invariantes, por lo que la firma clasifica las formas cuadráticas hasta cambios de variable reales; distingue tipos definidos, semidefinidos e indefinidos.

Demostración

Una matriz simétrica 3×3 diagonalizada a diag(2, -1, 0) tiene firma (1,1,1): un valor propio positivo, uno negativo y uno nulo. Esto determina que la forma cuadrática asociada es indefinida y singular.

Aplicación incorrecta

Usar el signo del determinante o el rango como sustituto de la firma; por ejemplo, suponer que un determinante positivo implica positividad definida pasa por alto la posibilidad de valores propios negativos o nulos.

Consecuencia

Conocer la firma permite decidir propiedades de definitud, contar direcciones positivas y negativas útiles en optimización y teoría de Morse, y determinar la geometría cualitativa de los conjuntos de nivel de la forma cuadrática.

Inversión

Invertir los signos de la forma (multiplicar por −1) intercambia los recuentos positivos y negativos, convirtiendo una forma definida positiva en definida negativa; conceptualmente, la inversión resalta direcciones complementarias pero preserva el número de modos nulos.

Límite

Definida principalmente para formas bilineales simétricas o formas cuadráticas reales (y, con adaptaciones, para formas hermitianas) sobre campos donde el orden tenga sentido; sobre campos algebraicamente cerrados o sin orden real, la firma no tiene el mismo significado.

Tensión semántica

Hay tensión entre la firma y invariantes como el determinante, el rango o la lista de valores propios: están relacionados pero difieren en granularidad o en la invariancia bajo congruencia frente a similaridad, por lo que no tienen igual poder de clasificación.

Síntesis

La firma es el recuento invariante por congruencia de las direcciones espectrales positivas, negativas y nulas de una forma real simétrica, proporcionando la clasificación decisiva de la definitud y la forma geométrica cualitativa asociada.