Die Signatur (oder Inertie) einer symmetrischen Bilinearform bzw. Quadratform über den reellen Zahlen ist das geordnete Tripel (p, n, z), das die Anzahl positiver, negativer und nuller Eigenwerte einer darstellenden symmetrischen Matrix angibt und damit das Definitheitsmuster beschreibt.

Prinzip

Sylvesters Trägheitsgesetz: Unter Kongruenztransformationen über R sind die Zahlen p und n invariant, sodass die Signatur Quadratformen bis auf eine reelle Koordinatenänderung klassifiziert; sie unterscheidet definite, semidefinite und indefinite Typen.

Demonstration

Eine symmetrische 3×3-Matrix, die zu diag(2, -1, 0) diagonalisiert wird, hat Signatur (1,1,1): ein positiver, ein negativer und ein nuller Eigenwert. Daraus folgt, dass die zugehörige Quadratform indefinit und singulär ist.

Fehlanwendung

Den Determinanten oder den Rang als Ersatz für die Signatur zu verwenden; etwa anzunehmen, ein positiver Determinant beweise Positive Definitheit, obwohl negative oder null Eigenwerte möglich sind.

Konsequenz

Die Kenntnis der Signatur erlaubt Entscheidungen über Definitheitseigenschaften, das Zählen positiver und negativer Richtungen in der Optimierung und Morse-Theorie und bestimmt die qualitative Geometrie der Niveauflächen der Quadratform.

Umkehrung

Das Vorzeichen der Form umzudrehen (Multiplikation mit −1) vertauscht positive und negative Zählungen und macht aus einer positiv definiten Form eine negativ definite; konzeptionell hebt die Umkehr komplementäre Richtungen hervor, während die Anzahl nuller Modi erhalten bleibt.

Abgrenzung

Vorwiegend definiert für symmetrische Bilinearformen bzw. reelle Quadratformen (und mit Anpassungen für hermitesche Formen) über Körpern, in denen eine Ordnung existiert; über algebraisch abgeschlossenen Körpern oder ohne reelle Ordnung ist die Signatur nicht in gleicher Weise sinnvoll.

Semantische Spannung

Spannung besteht zwischen Signatur und Invarianten wie Determinante, Rang oder Eigenwertlisten: Sie sind verwandt, unterscheiden sich jedoch in Detaillierungsgrad und Invarianz (Kongruenz vs. Similarität) und besitzen daher unterschiedliche Klassifikationsstärken.

Synthese

Die Signatur ist die kongruenzinvariante Zählung positiver, negativer und nuller spektraler Richtungen einer reellen symmetrischen Form und liefert die entscheidende Klassifikation für Definitheit und die qualitative Gestalt der zugehörigen Quadratgeometrie.