Para una matriz cuadrada o endomorfismo, la traza es la suma de las entradas diagonales en cualquier representación matricial; equivalentemente la suma de los autovalores contados con multiplicidad algebraica y es invariante por semejanza.

Principio

La linealidad y la cyclicidad son centrales: tr(A+B)=tr(A)+tr(B), tr(cA)=c·tr(A) y tr(AB)=tr(BA) para matrices de tamaños compatibles; el coeficiente de λ^{n−1} en el polinomio característico es −tr(A).

Demostración

Ejemplo: A = [[1,2],[3,4]] tiene traza 1+4=5. Sus autovalores suman 5, y para cualquier S invertible tr(S^{-1}AS)=tr(A), por lo que la traza es invariante por conjugación.

Aplicación incorrecta

Usar traza=0 para concluir nilpotencia o singularidad: una traza nula no implica que una matriz sea nilpotente o no invertible (la traza solo da información sobre la suma espectral), ni deducir autovalores individuales a partir de la traza.

Consecuencia

La traza proporciona un invariante simple y computable que controla coeficientes del polinomio característico, aparece en la linealización del determinante y sirve como carácter en teoría de representaciones; es aditiva en sumas directas y estable por conjugación.

Inversión

En lugar de resumir una matriz por su traza (un escalar), analizar el espectro completo o la forma de Jordan para recuperar la estructura espectral detallada perdida por la suma.

Límite

Definida para matrices cuadradas sobre cuerpos y para operadores de clase traza en dimensiones infinitas; para operadores generales en dimensiones infinitas la traza puede ser indefinida y depender de la elección de base o de la topología.

Tensión semántica

Tensión entre traza y determinante: la traza agrega autovalores aditivamente mientras que el determinante los multiplica; tensión también entre la definición aparente dependiente de la base (suma diagonal) y el hecho de que la traza es invariante por semejanza.

Síntesis

La traza es el escalar invariante por semejanza que da la suma de las entradas diagonales o, equivalentemente, la suma de los autovalores; su linealidad y cyclicidad gobiernan sus usos algebraicos y límites.