Für eine quadratische Matrix oder einen Endomorphismus ist die Spur die Summe der Diagonaleinträge in jeder Matrixdarstellung; äquivalent die Summe der Eigenwerte mit algebraischer Vielfachheit und ein Ähnlichkeitsinvariant.

Prinzip

Linearität und Zyklizität sind zentral: Spur(A+B)=Spur(A)+Spur(B), Spur(cA)=c·Spur(A) und Spur(AB)=Spur(BA) für passender Matrizen; der Koeffizient von λ^{n−1} im charakteristischen Polynom lautet −Spur(A).

Demonstration

Beispiel: A = [[1,2],[3,4]] hat Spur 1+4=5. Seine Eigenwerte summieren zu 5, und für invertierbares S gilt Spur(S^{-1}AS)=Spur(A), die Spur ist also invariabel unter Konjugation.

Fehlanwendung

Aus Spur=0 auf Nilpotenz oder Nichtinvertierbarkeit schließen: eine Nullspur impliziert nicht, dass eine Matrix nilpotent oder singulär ist (die Spur liefert nur Summeninformation des Spektrums), oder aus der Spur auf einzelne Eigenwerte schließen.

Konsequenz

Die Spur liefert ein einfaches, berechenbares Invariant, das Koeffizienten des charakteristischen Polynoms steuert, in der Linearisierung des Determinanten erscheint und als Charakter in der Darstellungstheorie dient; sie ist additiv bei direkten Summen und stabil unter Konjugation.

Umkehrung

Anstatt eine Matrix nur durch ihre Spur (einen Skalar) zusammenzufassen, analysiere man das vollständige Spektrum oder die Jordansche Normalform, um die verlorene spektrale Detailstruktur zu gewinnen.

Abgrenzung

Definiert für quadratische Matrizen über Körpern und für Spurklasseoperatoren in unendlichen Dimensionen; für allgemeine unendlichdimensionale Operatoren kann die Spur undefiniert sein und von Basiswahl oder Topologie abhängen.

Semantische Spannung

Spannung zwischen Spur und Determinante: Die Spur fasst Eigenwerte additiv zusammen, die Determinante multipliziert sie; außerdem Schein-Konflikt zwischen basisabhängiger Diagonalsumme und der Ähnlichkeitsinvarianz der Spur.

Synthese

Die Spur ist das Ähnlichkeitsinvariante Skalar, das die Summe der Diagonaleinträge bzw. der Eigenwerte angibt; Linearität und Zyklizität bestimmen ihre algebraischen Anwendungen und Grenzen.