La codimensión de la imagen (rango) de una aplicación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita; equivalentemente la dimensión del codominio menos el rango de la aplicación, midiendo cuánto le falta para ser sobreyectiva.

Principio

Corango = dim W − rango(T) para T: V → W. En contextos de dualidad finita, el corango coincide con la nulidad de la transpuesta (o adjunta) en el espacio dual.

Demostración

Ejemplo: T: R^5 → R^7 con rango 4 tiene corango 7−4=3; tres direcciones del objetivo no son alcanzadas por T, de modo que la imagen es un subespacio de R^7 de dimensión 4 y codimensión 3.

Aplicación incorrecta

Usar corango como sinónimo de nulidad (dimensión del núcleo) de la misma aplicación, o aplicar la fórmula de dimensión finita en contextos de dimensión infinita sin considerar el cierre de la imagen o los duales continuos.

Consecuencia

Conocer el corango cuantifica la obstrucción a la sobreyectividad: corango=0 si y solo si T es sobreyectiva. Orienta la construcción de inversas por la derecha y controla las condiciones de solvabilidad de ecuaciones lineales no homogéneas.

Inversión

Invertir la perspectiva hacia el rango: en lugar de contar dimensiones objetivo no alcanzadas, contar las alcanzadas. Alternativamente, considerar la nulidad para medir el fallo de inyectividad en lugar del de sobreyectividad.

Límite

Se define para aplicaciones lineales entre espacios vectoriales de dimensión finita; en contextos de dimensión infinita el corango puede ser infinito o depender del cierre topológico de la imagen y de los espacios duales; para aplicaciones no lineales se requieren invariantes distintos.

Tensión semántica

Tensión entre corango y nulidad: ambos miden una 'deficiencia' pero en posiciones duales (codominio frente a dominio). También tensión con invariantes relacionados como la dimensión del cociente cokernel o el índice de Fredholm que combinan nulidad y corango.

Síntesis

El corango es el entero que da la codimensión de la imagen de un operador lineal: dim(codominio)−rango, una medida precisa de cuántas direcciones objetivo la transformación no alcanza.