Die Kodimension des Bildes (Wertbereichs) einer linearen Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen; äquivalent die Dimension des Zielraums minus Rang, ein Maß dafür, wie weit die Abbildung von Surjektivität entfernt ist.

Prinzip

Korang = dim W − Rang(T) für T: V → W. In endlichen dualen Situationen stimmt der Korang mit der Nullität der Transponierten (oder Adjunkten) auf dem Dualraum überein.

Demonstration

Beispiel: T: R^5 → R^7 mit Rang 4 hat Korang 7−4=3; drei unabhängige Zielrichtungen werden von T nicht erreicht, das Bild ist ein 4-dimensionaler Unterraum von R^7 mit Kodimension 3.

Fehlanwendung

Den Korang fälschlich als Synonym für die Nullität (Kern-Dimension) derselben Abbildung verwenden oder die Formel aus dem endlichdimensionalen Fall auf unendlichdimensionale Kontexte anwenden, ohne Abschluss des Bildes oder stetige Duale zu berücksichtigen.

Konsequenz

Die Kenntnis des Korangs quantifiziert die Obstruktion zur Surjektivität: Korang=0 genau dann, wenn T surjektiv ist. Das hilft beim Aufbau rechter Inversen und steuert Lösbarkeitsbedingungen für inhomogene lineare Gleichungen.

Umkehrung

Die Perspektive umkehren und stattdessen den Rang betrachten: anstatt die verfehlten Ziel-Dimensionen zu zählen, zählt man die erreichten. Alternativ die Nullität betrachten, um das Versagen der Injektivität zu messen.

Abgrenzung

Definiert für lineare Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen; in unendlichdimensionalen Fällen kann der Korang unendlich sein oder von topologischen Abschlüssen und Dualräumen abhängen; bei nichtlinearen Abbildungen werden andere Invarianten benötigt.

Semantische Spannung

Spannung zwischen Korang und Nullität: beide messen einen 'Mangel', aber in dualen Positionen (Kodomäne vs Domäne). Außerdem Spannung zu verwandten Invarianten wie der Dimension des Kokerner oder dem Fredholm-Index, die Nullität und Korang verbinden.

Synthese

Der Korang ist die ganze Zahl, die die Kodimension des Bildes einer linearen Abbildung angibt: dim(Zielraum)−Rang, ein klares Maß dafür, wie viele Zielrichtungen die Abbildung nicht erreicht.