Un cuerpo es un anillo asociativo y conmutativo con unidad en el que todo elemento distinto de cero tiene inverso multiplicativo.

Principio

Combina la invertibilidad de los elementos no nulos con la conmutatividad multiplicativa, lo que permite leyes algebraicas simétricas usadas en aritmética polinómica y álgebra lineal sobre escalares.

Demostración

Los números racionales constituyen un cuerpo: sumas, restas, multiplicaciones y divisiones por elementos no nulos están bien definidas y cumplen los axiomas; existen también cuerpos finitos con p^n elementos usados en teoría de códigos.

Aplicación incorrecta

Dividir en un anillo que tiene divisores de cero o carece de inversos sin verificar condiciones; por ejemplo cancelar factores en Z/6Z sin comprobar invertibilidad conduce a errores.

Consecuencia

Los cuerpos sirven como escalares para espacios vectoriales, permiten construir anillos de polinomios y cuerpos de fracciones, y sostienen propiedades de factorización en muchos casos; son la base de las extensiones de cuerpos y la teoría de Galois.

Inversión

Un anillo de división no conmutativo, un anillo con divisores de cero o cualquier anillo donde algunos elementos no nulos no tengan inverso; tales estructuras no permiten la división universal.

Límite

Debe ser asociativo, tener unidad y multiplicación conmutativa; quedan excluidas las álgebras de división no asociativas; el cero no es invertible y todo cuerpo es un dominio íntegro.

Tensión semántica

Solapamiento con el término anillo de división: ambos exigen inversos para elementos no nulos, pero el cuerpo exige además la conmutatividad; también se entiende como dominio íntegro cerrado por la formación del cuerpo de fracciones.

Síntesis

Un cuerpo es un anillo conmutativo y unitario en el que cada elemento no nulo es invertible, ofreciendo el marco algebraico más simple y estable para la división, la aritmética de polinomios y el álgebra lineal.