Ein Körper ist ein assoziativer, kommutativer Ring mit Eins, in dem jedes von Null verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt.

Prinzip

Er vereint die Invertierbarkeit von Nichtnull-Elementen mit kommutativer Multiplikation, wodurch symmetrische algebraische Gesetze gelten, die Polynomrechnung und lineare Algebra über Skalaren ermöglichen.

Demonstration

Die rationalen Zahlen bilden einen Körper: Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durch Nichtnull-Elemente sind definiert und erfüllen die Axiome; es gibt auch endliche Körper mit p^n Elementen, die in der Codierungstheorie eine Rolle spielen.

Fehlanwendung

In einem Ring mit Nullteilern oder fehlenden Inversen beliebig zu dividieren; zum Beispiel das Kürzen in Z/6Z ohne Prüfung der Invertierbarkeit führt zu falschen Folgerungen.

Konsequenz

Körper liefern Skalare für Vektorräume, erlauben die Bildung von Polynomringen und Quotientenkörpern und tragen in vielen Fällen zur eindeutigen Faktorisierung bei; sie sind Ausgangspunkt für Körpererweiterungen und Galois-Theorie.

Umkehrung

Ein nichtkommutativer Divisionsring, ein Ring mit Nullteilern oder allgemein ein Ring, in dem einige Nichtnull-Elemente keine Inversen besitzen; solche Strukturen erlauben keine universelle Division.

Abgrenzung

Voraussetzung sind Assoziativität, ein Einselement und kommutative Multiplikation; nichtassoziative Divisionenalgebren sind ausgeschlossen; die Null ist nicht invertierbar und jeder Körper ist ein Integritätsbereich.

Semantische Spannung

Nahe am Begriff Divisionsring: beide verlangen Inverse für Nichtnull-Elemente, der Körper verlangt zusätzlich Kommutativität; ein Körper kann auch als Integritätsbereich mit Bildung eines Quotientenkörpers gesehen werden.

Synthese

Ein Körper ist ein kommutativer Ring mit Eins, in dem jedes Nichtnull-Element invertierbar ist; er stellt das einfachste, reguläre algebraische Umfeld für Division, Polynomrechnung und lineare Algebra bereit.