Eine Menge von endlich-ärtigen Operationen auf einer festen Menge, die alle Projektionen enthält und unter Komposition (Einsetzen von Operationen in Argumente) abgeschlossen ist.

Prinzip

Abgeschlossenheit unter Komposition zusammen mit dem Vorhandensein der Projektionen charakterisiert die algebraische Idee aller Termoperationen, die aus einer Signatur oder Algebra definierbar sind; Klone fassen die operationale Ausdruckskraft einer Algebra zusammen.

Demonstration

Auf der Zweielementmenge {0,1} bildet die Menge aller booleschen Funktionen (aller endlichen Stelligkeiten) einen Klon; Teilmengen, die unter Komposition abgeschlossen sind und Projektionen enthalten, entsprechen klassischen Klonen in Posts Gitter, z. B. dem Klon der monotonen booleschen Funktionen.

Fehlanwendung

Jede Menge von Funktionen, die unter punktweiser Kombination abgeschlossen ist, fälschlich als Klon zu bezeichnen oder Klone mit Permutationsgruppen zu verwechseln; solche Fehler übersehen die erforderlichen Projektionen und die kompositorische Abschlussbedingung.

Konsequenz

Die Kenntnis eines Klons von Operationen bestimmt, welche Relationen erhalten bleiben (Polymorphismen) und klassifiziert damit Definierbarkeit und algorithmische Eigenschaften (z. B. hängt die Komplexität von CSPs von den Polymorphismen ab).

Umkehrung

Die duale Sicht richtet sich auf Mengen von Relationen, die unter primitiven positiven Definitionen abgeschlossen sind (Co-Klone); die Umkehrung des Blickwinkels von Operationen zu Relationen liefert komplementäre Klassifikationswerkzeuge und andere Invarianten.

Abgrenzung

Gilt nur für endlich-ärtige Operationen auf einer einzelnen Trägermenge und verlangt alle Projektionen; schließt unendliche Arithtäten, mehrere Ausgabewerte und Sammlungen ohne Projektionen aus.

Semantische Spannung

Der Begriff Klon steht im Spannungsfeld zu Monoiden von Operationen oder erzeugten Algebren: Ein Klon betont die Abschließung unter beliebiger Komposition und Projektionen, während eine erzeugte Algebra sich auf Abschlüsse unter bestimmten primitiven Operationen beschränken kann.

Synthese

Ein Klon ist die Gesamtheit der endlich-ärtigen Termoperationen auf einer gegebenen Menge, abgeschlossen unter Komposition und enthaltend die Projektionen; er bündelt die operationale Macht einer Algebra und bildet eine Brücke zwischen Operationen und erhaltenen Relationen.