Une famille de foncteurs polynomiaux sur espaces vectoriels (ou modules) indexée par des partitions, produisant les modules de Schur S^λ(V) ; ils construisent les représentations polynomiales irréductibles de GL(V) en caractéristique nulle et organisent les symétrisations données par les symétriseurs de Young.

Principe

Pour une partition λ, on applique une combinaison prescrite de puissances tensorielle, de symétrisations et d’antisymétrisations (codées par des idempotents de Young) à un espace vectoriel V pour obtenir le foncteur de Schur S^λ(V). Le procédé est fonctoriel et commute avec l’action du groupe symétrique sur les puissances tensorielles.

Démonstration

Pour λ = (n) le foncteur de Schur donne la puissance symétrique Sym^n(V) ; pour λ = (1^n) il donne la puissance extérieure ∧^n V ; pour λ = (2,1) il produit un module de symétrie mixte obtenu en appliquant des symétriseurs de Young à V^{⊗3}, fournissant un module concret de GL(V) de poids dominant donné.

Mauvaise application

Considérer que les foncteurs de Schur commutent avec des limites quelconques ou ignorer la caractéristique du corps de base peut conduire à des décompositions erronées (par exemple croire aux mêmes formules d’irréductibilité et de dimension en petite caractéristique positive où la théorie change).

Conséquence

Ils offrent une méthode combinatoire uniforme pour engendrer toutes les représentations polynomiales irréductibles des groupes linéaires (sur des corps adaptés), clarifient la structure des poids et des plus hauts poids, et servent de blocs de construction en plethysme, dualité Schur–Weyl et calculs cohomologiques.

Inversion

Inversement, on décompose les représentations tensorielles en composantes indexées par des partitions via la dualité Schur–Weyl : au lieu de construire des modules à partir de partitions, on analyse une puissance tensorielle donnée par ses constituants indexés par des partitions et les modules du groupe symétrique correspondants.

Limite

Les constructions de foncteurs de Schur sont standard sur des corps de caractéristique nulle et sur de nombreuses caractéristiques convenables ; en petite caractéristique positive ils peuvent cesser d’être irréductibles ou de satisfaire les formules naïves de dimension, et pour des espaces de dimension infinie il faut des hypothèses sur le degré polynomial et la finitude.

Tension sémantique

Proche mais distinct des foncteurs de Weyl et des foncteurs polynomiaux généraux : les foncteurs de Schur sont les constructions indexées par partitions qui produisent les modules de Schur classiques, tandis que des foncteurs polynomiaux plus larges ne se décomposent pas nécessairement en une seule pièce indexée par une partition sans structure supplémentaire.

Synthèse

Les foncteurs de Schur traduisent des données combinatoires (partitions et symétriseurs de Young) en représentations polynomiales concrètes de GL(V) : en appliquant des procédures prescrites de symétrisation et antisymétrisation aux puissances tensorielles ils produisent les modules standard S^λ(V) qui sont la pierre angulaire de la théorie des représentations classiques.