Phénomène où l'intersection de Krull ⋂_{n≥1} I^n des puissances d'un idéal I dans un anneau R n'est pas égale à l'ensemble attendu (par exemple elle est non nulle alors que certains théorèmes prévoient zéro), témoignant d'un défaut de séparation pour la topologie I-adique ou d'une violation des hypothèses des théorèmes d'intersection.

Principe

Les théorèmes d'intersection de Krull affirment que, sous des hypothèses de finitude ou de complétude (Noethérien, modules de type fini, ou topologies adiques séparées), l'intersection de toutes les puissances d'un idéal s'effondre sur le sous-module attendu (souvent zéro) ; l'échec survient quand ces hypothèses ne sont pas satisfaites.

Démonstration

Dans des anneaux non noethériens, des anneaux de valuation ou des anneaux de polynômes en une infinité de variables, on peut construire des idéaux I pour lesquels ⋂_{n≥1} I^n contient des éléments non nuls — les constructions exploitent des chaînes montantes infinies ou des idéaux non de type fini rendant la filtration I-adique non séparée.

Mauvaise application

Appliquer des conclusions d'intersection de Krull sans vérifier la noethérianité, la finitude de génération ou la séparabilité conduit à des affirmations erronées sur des développements uniques, la continuation analytique en schémas formels ou à déduire la nilpotence à partir de l'annulation d'images dans tous les quotients.

Conséquence

Lorsque l'intersection de Krull se comporte comme prévu, la topologie I-adique est de Hausdorff et les complétés formels reflètent fidèlement le module d'origine ; en cas d'échec, les complétions perdent de l'information et les arguments de type série formelle sur l'unicité ou la séparation échouent.

Inversion

La perspective inverse met l'accent sur les anneaux où l'intersection est large (non nulle) : ces anneaux présentent une non-séparabilité I-adique et admettent des éléments non triviaux annulés par des puissances arbitrairement élevées de I, contrairement au cas noethérien séparé.

Limite

S'applique aux idéaux dans les anneaux et aux modules et au comportement des filtrations adiques ; il exclut les analogues géométriques ou analytiques sauf si on les traduit explicitement en langage I-adique et que l'on examine les hypothèses.

Tension sémantique

Tension entre l'intersection de Krull comme propriété de séparation topologique et comme énoncé algébrique de nullité : une topologie adique non de Hausdorff se manifeste algébriquement par une intersection de Krull non triviale, de sorte que les deux points de vue suggèrent des remèdes différents.

Synthèse

L'échec de l'intersection de Krull signale que la filtration I-adique n'est pas séparante : les hypothèses de finitude ou de complétude font défaut et, par conséquent, les complétions et arguments formels reposant sur la nullité de ⋂I^n ne sont pas applicables sans vérifications supplémentaires.