Phénomène où un module M sur le quotient A/I ne peut pas être réalisé comme N/IN pour un quelconque A-module N (autrement dit, il n'existe pas de A-module dont la réduction par A → A/I soit M) ; le module n'est pas relevable le long de la surjection.

Principe

Le relèvement des modules est gouverné par la théorie des obstructions : l'existence de relevés dépend de l'annulation de classes d'obstruction cohomologiques et de conditions structurelles (projectivité, platitude, complétude) sur l'anneau et l'idéal.

Démonstration

Pour π : A → A/I et un A/I-module M, la nonrelèvabilité signifie qu'il n'existe pas N tel que N⊗_A(A/I) ≅ M ou N/IN ≅ M. Des exemples concrets apparaissent en théorie des déformations lorsque des classes d'obstruction de type Ext^2 sont non nulles, ou lorsque M impose des relations que nul A-module ne peut satisfaire du fait d'une action obstructive de I.

Mauvaise application

Considérer tout module de présentation finie ou de longueur finie sur A/I comme relevable conduit à des comptages de modules erronés, à des raisonnements de déformation faux et à des conclusions incorrectes sur l'existence de familles de modules après changement de base.

Conséquence

Lorsque le relèvement existe, on peut déformer les modules, contrôler des familles et transférer des propriétés homologiques entre A et A/I ; la nonrelèvabilité isole des modules intrinsèquement liés au quotient qui résistent à l'extension à l'algèbre plus grande.

Inversion

La propriété inverse est la relevabilité : chaque module (ou chaque module d'une classe donnée) sur A/I admet un antécédent sur A. Le contraste distingue les modules déformables/extensibles de ceux confinés à la géométrie du quotient.

Limite

Le concept concerne les modules algébriques relatifs à une surjection fixée A → A/I ; il exclut les notions purement catégoriques ou topologiques de relèvement sauf si la structure de module et l'action de l'idéal sont explicitement spécifiées.

Tension sémantique

Tension entre « relever des modules » et « relever des classes d'isomorphie de modules à une extension près » : parfois une classe d'isomorphie se relève seulement après extension par un I-torseur non trivial, ainsi l'existence d'un relevé littéral diffère de l'existence d'un relevé à isomorphie près.

Synthèse

La nonrelèvabilité des modules repère les modules qui ne peuvent pas être étendus du quotient vers l'algèbre ambiante en raison d'obstructions cohomologiques intrinsèques ou d'une action incompatible de l'idéal ; identifier ces obstructions est essentiel en théorie des déformations et en classification.