La situation dans laquelle existent des modules de type fini qui ne sont pas projectifs ; la seule condition de type fini n'assure pas la projectivité, si bien que des modules finiment générés peuvent manquer des propriétés de relèvement ou de scindage caractéristiques des projectifs.

Principe

La projectivité est une propriété de relèvement/scindage reliée à l'exactitude du foncteur Hom ; la génération finie est une contrainte de taille. Le principe est que les contraintes de taille n'impliquent pas les propriétés homologiques de relèvement sauf sous des hypothèses plus fortes sur l'anneau.

Démonstration

Exemple concret : sur l'anneau Z le module Z/nZ est de type fini mais non projectif (les modules projectifs sur Z sont libres), de sorte que l'existence de modules finitement générés non projectifs est immédiate dans de nombreux anneaux non semi-simples ou non réguliers.

Mauvaise application

Supposer que tous les modules de type fini sont projectifs, ou utiliser des arguments de scindage nécessitant la projectivité sans la vérifier ; cela conduit à des décompositions incorrectes ou à des relèvements de morphismes faux.

Conséquence

Quand ces modules existent, il faut employer des outils homologiques (Ext, résolutions projectives, Tor) pour étudier les obstructions, construire des recouvrements projectifs quand ils existent, et rester prudent sur les conclusions requérant la projectivité.

Inversion

En revanche, lorsque tout module de type fini est projectif (p. ex. sur des anneaux semi-simples artiniens), la théorie des modules se simplifie fortement : les suites exactes courtes se scindent et la classification se ramène à des décompositions en sommes directes de projectifs.

Limite

L'assertion concerne les modules de type fini sur un anneau donné ; elle exclut les modules infiniment générés et met l'accent sur la projectivité comme propriété homologique plutôt que sur la liberté, qui est une notion plus forte dans de nombreux contextes.

Tension sémantique

La tension se situe entre « projectif » et « libre » et entre « de type fini » et « présenté finiment » : chaque paire introduit des subtilités : finiment généré n'implique pas projectif, et projectif n'implique pas nécessairement libre sans hypothèses additionnelles.

Synthèse

L'existence de modules finitement générés non projectifs est un phénomène-limite courant montrant que la finitude de taille n'assure pas un bon comportement homologique ; elle motive l'usage de résolutions, de la théorie d'Ext et d'hypothèses d'anneaux supplémentaires pour retrouver des résultats de scindage et de classification.