L'indépendance par forking (souvent abrégée forking) est une relation ternaire a ⟂_A b (ou entre types) exprimant que le type de a sur A∪{b} ne fork pas sur A ; intuitivement, a est indépendant de b sur A lorsque aucune formule du type de a sur A∪{b} ne divise sur A. Le forking formalise une notion robuste d'indépendance relative à une théorie complète du premier ordre.

Principe

Au fond, le forking se définit via le dividing : une formule φ(x,b) divide sur A si elle implique une famille d'instances inconsistente indexée par une suite indiscernable sur A ; un type fork s'il implique une disjonction finie de formules qui divisent. Le principe entraîne localité, monotonicité, invariance et, dans les théories stables, symétrie et transitivité.

Démonstration

Dans une théorie stable, l'indépendance par forking coïncide avec la non-scission (non-splitting) et possède la symétrie : par exemple, dans les corps algébriquement clos le non-forking des n-uplets correspond à l'indépendance algébrique, donc deux n-uplets sont indépendants sur une base exactement quand aucun d'eux n'appartient à la clôture algébrique de la base avec l'autre.

Mauvaise application

Supposer que le forking se comporte uniformément dans toutes les théories (par ex. qu'il ait la symétrie ou la monotonie de base sans hypothèse) ou identifier le forking à des notions plus élémentaires comme l'indépendance linéaire ou algébrique dans des théories où ces notions divergent conduit à des déductions invalides.

Conséquence

Bien appliqué, le forking fournit le calcul d'indépendance principal en théorie de la classification : il donne des bases canoniques, permet de construire des suites de Morley et sert de détecteur de stabilité, simplicité, NIP et d'autres lignes de séparation en théorie des modèles.

Inversion

La dépendance par forking est la négation : un type fork sur A lorsqu'il encode une complexité combinatoire relative à A (via le dividing) et indique ainsi une dépendance qui empêche une extension libre ; la dépendance témoigne d'une interaction non triviale entre paramètres et type.

Limite

Le forking dépend de la théorie et se définit relativement à une théorie complète et à un modèle ambiant (généralement un monstre). Ses propriétés formelles varient : la symétrie et la transitivité pleine tiennent dans les théories stables mais peuvent échouer ou nécessiter d'être remplacées (par l'indépendance de Kim, le thorn-forking, etc.) dans d'autres classes.

Tension sémantique

Il existe une tension sémantique entre le forking et d'autres notions d'indépendance (thorn-forking, Kim-independence, non-dividing) : toutes visent à capturer l'indépendance mais diffèrent par leur définition technique et leur pertinence en milieux instables, imposant un choix attentif en fonction de la ligne de division étudiée.

Synthèse

L'indépendance par forking est l'outil modélothétique qui détecte quand des types s'étendent librement sur une base : défini via le dividing et encadré par des propriétés comme l'invariance et, dans les bonnes théories, la symétrie et la transitivité, il unifie de nombreuses intuitions algébriques d'indépendance en un calcul sensible au langage et dépendant de la théorie.