Une réalisation d'un type p(x) dans un modèle M est un élément ou un n-uplet a de M tel que chaque formule de p(x) soit vraie en a dans M ; autrement dit, a réalise p si M ⊨ φ(a) pour toute φ(x) ∈ p.

Principe

La réalisation rattache la description syntaxique fournie par un type à un objet sémantique concret dans un modèle ; le fait qu'un type soit réalisé dépend des propriétés du modèle (taille, saturation) et du type lui-même.

Démonstration

Un type de transcendance sur Q est réalisé dans toute extension de Q qui contient un élément transcendant ; dans un corps algébriquement clos κ-saturé, tout type sur un ensemble de paramètres de taille < κ est réalisé par un élément du corps.

Mauvaise application

Supposer que tout type cohérent (ou complet) est réalisé dans chaque modèle : la réalisation peut échouer dans des modèles petits ou non saturés, et l'omission de types est un phénomène important pour les constructions.

Conséquence

Lorsque des types sont réalisés, on obtient des témoins concrets pour des descriptions abstraites, ce qui permet de construire explicitement des éléments au comportement prescrit et de relier les types aux calculs d'orbites et d'indépendance.

Inversion

Le concept inverse est l'omission : un modèle peut omettre un type (aucun élément ne le réalise), ce qui est central pour le théorème d'omission des types et pour la construction de modèles aux propriétés contrôlées.

Limite

La réalisation est relative au modèle : un même type peut être réalisé dans certains modèles et omis dans d'autres ; la réalisation concerne la vérité du premier ordre dans une structure donnée et n'aborde pas des réalisations du second ordre ou infinitaires.

Tension sémantique

La réalisation peut être confondue avec la satisfaisabilité d'une formule : la satisfaisabilité concerne l'existence d'un modèle et d'un élément rendant une formule vraie, tandis que la réalisation fixe à la fois le type et le modèle ambiant où chaque formule du type tient.

Synthèse

Une réalisation est le témoin concret dans un modèle qui rend vraie chaque formule d'un type donné ; le schéma des types réalisés selon les modèles encode une information structurelle profonde sur la théorie et ses modèles.