Un lemme d'algèbre homologique qui compare deux suites exactes courtes se terminant par le même module avec des termes médians projectifs (ou libres), affirmant une isomorphie stable entre les modules de syzygies correspondants : K ⊕ P' ≅ K' ⊕ P.

Principe

Si 0 → K → P → M → 0 et 0 → K' → P' → M → 0 sont exactes avec P et P' projectifs, alors les noyaux satisfont une relation de type annulation donnant K ⊕ P' ≅ K' ⊕ P ; le lemme exprime l'invariance des syzygies à l'ajout de projectifs.

Démonstration

Dans la catégorie des modules sur un anneau, étant données deux présentations projectives de M, le lemme de Schanuel construit des scindements et des morphismes explicites montrant que la somme directe d'un noyau avec le projectif médian de l'autre est isomorphe à la somme correspondante, ce qui sert à comparer des rangs sur un PID ou à relier des dimensions projectives.

Mauvaise application

Appliquer le lemme lorsque les termes médians ne sont pas projectifs, ou à des suites non exactes, rend la conclusion incorrecte ; confondre cela avec l'annulation de facteurs arbitraires (sans projectivité) conduit aussi à des équivalences fausses.

Conséquence

Fournit un outil clé pour montrer que la dimension projective et l'équivalence stable des modules sont bien définies, sous-tend des calculs en K-théorie et permet de transférer des propriétés entre résolutions différentes en absorbant des summands projectifs.

Inversion

Si l'on abandonne la projectivité, l'isomorphisme stable peut échouer et les noyaux peuvent ne pas être comparables par l'ajout de summands arbitraires ; l'inversion met en évidence la nécessité des hypothèses projectives pour le comportement d'annulation.

Limite

Exige des suites exactes courtes avec termes médians projectifs (ou libres) dans une catégorie abélienne de modules ; ne s'étend pas à des objets quelconques dépourvus de projectifs ni à des contextes où l'annulation par somme directe échoue.

Tension sémantique

Proche mais distinct du lemme de la chaussure (horseshoe) et de la conjecture de Schanuel (sujet différent) : le horseshoe construit des résolutions combinées tandis que Schanuel compare les syzygies à l'ajout de projectifs ; la confusion entre les usages du nom 'Schanuel' est fréquente et doit être évitée.

Synthèse

Le lemme de Schanuel formalise l'invariance stable des syzygies sous différentes présentations projectives : les noyaux des recouvrements projectifs ne diffèrent que par l'ajout de summands projectifs, de sorte que les syzygies des modules sont comparables à ces pièces projectives triviales près.