Une construction en théorie des modèles qui forme une nouvelle structure à partir d'une famille (A_i)_{i∈I} de structures de même signature et d'un ultrafiltre U sur I en prenant le produit cartésien modulo la relation d'équivalence qui identifie deux suites dès qu'elles coïncident sur un ensemble de U ; les propriétés du premier ordre satisfaites sur un ensemble U-large se transfèrent à l'ultraproduit.

Principe

Utiliser un ultrafiltre pour écraser les données point par point du produit de sorte que la satisfaction des formules du premier ordre soit déterminée 'presque partout' selon U ; le principe de Łoś affirme qu'une phrase du premier ordre est vraie dans l'ultraproduit exactement lorsque l'ensemble des indices où elle est vraie appartient à l'ultrafiltre.

Démonstration

Construire l'ultraproduit ∏_U A_i d'une suite de corps finis (F_{p_i}) le long d'un ultrafiltre non principal U ; par le principe de Łoś, toute phrase du premier ordre vraie dans F_{p_i} pour un ensemble d'indices de U est vraie dans l'ultraproduit, si bien que l'ultraproduit modélise les sentences vérifiées par presque tous les facteurs.

Mauvaise application

Supposer que des propriétés au-delà du premier ordre (par exemple la cardinalité, la complétude en sens topologique ou des énoncés du second ordre) sont préservées par les ultraproduits conduit à des conclusions erronées ; les ultraproduits préservent la vérité du premier ordre, pas toutes les invariants set-théoriques ou catégoriques.

Conséquence

Les ultraproduits fournissent un outil puissant pour construire des modèles limite qui reflètent le comportement asymptotique au premier ordre de familles de structures, permettant des arguments de transfert de type compacité, la construction de modèles non standards et l'étude de phénomènes pseudo-finis ou limites.

Inversion

L'idée duale est l'ultrapuissance (tous les facteurs égaux) ou la prise de produits réduits par rapport à des filtres qui ne sont pas ultrafiltres ; inverser la condition d'ultrafiltre affaiblit le transfert et peut faire échouer la préservation des formules du premier ordre au sens de Łoś.

Limite

La construction suppose une signature fixe et un ultrafiltre sur l'ensemble d'indices ; la préservation n'est garantie que pour la logique du premier ordre (et les formules interprétables dans cette signature) ; les structures supplémentaires (topologie, propriétés d'ordre supérieur) exigent une vérification séparée et sont souvent non préservées.

Tension sémantique

Il existe une tension entre l'intuition d'ultraproduit comme limite en théorie des modèles et des caractéristiques cardinelles ou catégoriques : les ultraproduits se comportent comme des limites pour les propriétés du premier ordre mais peuvent exhiber des comportements globaux inattendus au niveau set-théorique ou de taille.

Synthèse

La Construction d'Ultraproduit assemble une famille de structures en un quotient de leur produit via un ultrafiltre de sorte que les vérités du premier ordre valides sur un ensemble d'indices large pour U deviennent des vérités de l'ultraproduit, faisant le lien entre comportement local des facteurs et modèle global.