Un résultat de parcours de diagramme qui, à partir d'un diagramme commutatif formé de deux rangées exactes et d'une colonne de flèches, produit une suite exacte longue canonique reliant noyaux et conoyaux, incluant un morphisme de connexion souvent noté δ.

Principe

Le parcours d'éléments dans un diagramme commutatif de suites exactes courtes identifie comment les noyaux se mappent sur les noyaux et les conoyaux sur les conoyaux et construit le morphisme de connexion reliant la suite des noyaux à celle des conoyaux, assurant l'exactitude sur toute la suite longue obtenue.

Démonstration

Étant donné un diagramme commutatif 0→A'→A→A''→0 de R-modules avec des flèches verticales vers 0→B'→B→B''→0, le Lemme du Serpent produit la suite exacte Noy(A'→B')→Noy(A→B)→Noy(A''→B'')→Conoy(A'→B')→Conoy(A→B)→Conoy(A''→B'') et un morphisme de connexion δ:Noy(A''→B'')→Conoy(A'→B').

Mauvaise application

Invoquer le Lemme du Serpent lorsque les rangées ne sont pas exactes, lorsque le diagramme ne commute pas, ou dans des catégories sans noyaux/conoyaux invalide la construction ; supposer la naturalité de δ sans vérifier les hypothèses fonctorielles peut aussi induire en erreur.

Conséquence

Fournit l'outil fondamental pour obtenir des suites exactes longues en homologie et cohomologie, construire les morphismes de connexion et comparer des foncteurs dérivés via des suites exactes courtes ou des foncteurs exacts.

Inversion

On peut parfois reconstruire un diagramme commutatif de suites exactes courtes à partir d'une suite longue donnée, mais cette inversion n'est pas canonique et demande des choix supplémentaires ; le Lemme du Serpent va du diagramme à la suite longue, pas l'inverse.

Limite

Fonctionne dans des catégories abéliennes ou dans toute catégorie possédant noyaux et conoyaux où les suites exactes courtes induisent des suites longues de connexion ; il n'est pas directement disponible dans des contextes non abéliens arbitraires.

Tension sémantique

Proche de la construction des morphismes de connexion dans les suites exactes longues de foncteurs dérivés et des constructions de cônes de mappage ; la tension tient entre la formulation élémentaire par parcours d'éléments et les interprétations plus abstraites en catégories dérivées.

Synthèse

Le Lemme du Serpent transforme un diagramme commutatif de suites exactes courtes en une suite exacte longue canonique de noyaux et conoyaux munie d'un morphisme de connexion, permettant de passer de données locales d'exactitude à des relations exactes globales utilisées en algèbre homologique.