Une technique homologique qui remplace des groupes Ext ou Tor en un degré donné par des groupes Ext ou Tor en d'autres degrés en utilisant des suites exactes courtes et des résolutions projectives ou injectives, produisant des isomorphismes canoniques entre degrés sous des hypothèses de nullité appropriées.

Principe

Exploiter la suite exacte longue de Ext (ou Tor) induite par une suite exacte courte et la nullité de Ext (ou Tor) contre des objets projectifs ou injectifs pour déplacer les calculs d'un degré à un autre : si 0 → K → P → A → 0 avec P projectif, alors Ext^{n+1}(A,–) ≅ Ext^{n}(K,–).

Démonstration

Pour calculer Ext^{m+1}_R(A,B) quand A admet une résolution projective, commencer par 0 → K → P → A → 0 avec P projectif ; la suite exacte longue pour Ext fournit Ext^{m+1}_R(A,B) ≅ Ext^{m}_R(K,B), ramenant le calcul à un degré inférieur. Dualement, on utilise des résolutions injectives pour décaler les degrés en sens inverse pour Ext(–,B) ou pour Tor dans des calculs de tensorisation.

Mauvaise application

Appliquer un décalage de dimension sans une suite exacte dont le terme central est projectif ou injectif (ou sans la nullité requise) peut donner des isomorphismes faux ; de même, effectuer le décalage dans des catégories dépourvues d'assez de projectifs/injectifs invalide l'argument.

Conséquence

Une application correcte transforme des calculs difficiles d'Ext/Tor en haut degrés en calculs de degrés inférieurs, propage des résultats de nullité entre degrés et soutient de nombreuses comparaisons d'arêtes de suites spectrales et théorèmes d'annulation.

Inversion

La réversion consiste à calculer chaque groupe Ext ou Tor dans son degré d'origine au lieu de passer à un noyau ou conoyau auxiliaire ; on conserve le degré mais le calcul reste souvent plus ardu.

Limite

S'applique dans des catégories abéliennes (ou des catégories dérivées) munies de suites exactes longues bien comportées et d'assez d'objets projectifs ou injectifs ; ne s'applique pas dans des contextes non abéliens arbitraires ni lorsque les hypothèses de nullité font défaut.

Tension sémantique

Souvent confondu avec la convergence d'une suite spectrale ou avec la simple troncation d'une résolution ; la tension est entre un décalage de degré explicite via une suite exacte courte (décalage de dimension) et des outils plus globaux comme les suites spectrales.

Synthèse

Le décalage de dimension est l'usage ciblé de suites exactes et de résolutions projectives/injectives pour obtenir des isomorphismes changeant de degré pour Ext et Tor, réduisant ainsi des calculs homologiques complexes lorsque la catégorie fournit les annulations nécessaires.