Une résolution injective d'un objet M dans une catégorie abélienne est un complexe exact 0→M→I^0→I^1→… dont chaque I^i est injectif ; une telle coresolution sert à calculer des foncteurs dérivés à droite, par exemple Ext^i(−,M) ou les foncteurs dérivés R^iΓ d'un foncteur Γ left‑exact.

Principe

Les objets injectifs absorbent les extensions : plonger M dans un enveloppe injective puis itérer produit une coresolution dont Hom(−,I^•) est exact, de sorte que Hom dans la coresolution calcule les foncteurs dérivés à droite. L'idée organisatrice est de remplacer M par un complexe maniable d'objets coflasques qui suppriment les obstructions Ext lors de l'application de foncteurs covariants left‑exacts.

Démonstration

Dans la catégorie des groupes abéliens, tout groupe divisible (par exemple les rationnels Q) est injectif ; pour un groupe A on construit une résolution injective en plongeant A dans un groupe injectif I^0 (par exemple une enveloppe injective), puis en prenant le conoyau et en le plongeant dans I^1, etc. Appliquer Hom(−,N) à la résolution donne un complexe dont la cohomologie calcule Ext^*(A,N).

Mauvaise application

Remplacer les termes injectifs par des modules non injectifs détruit l'exactitude nécessaire au calcul des foncteurs dérivés et conduit à des Ext ou des groupes de cohomologie incorrects. Une autre erreur fréquente est de supposer l'existence de résolutions injectives dans toute catégorie abélienne sans vérifier l'hypothèse « assez d'injectifs » ; certaines catégories exigent des techniques alternatives (catégories dérivées, structures de modèles) lorsque les injectifs font défaut.

Conséquence

Lorsque les résolutions injectives existent, elles fournissent la méthode standard pour calculer les foncteurs dérivés à droite, définir concrètement les catégories dérivées et étudier la cohomologie locale et les théories de dualité (dualité de Matlis, dualité de Grothendieck) où les coresolutions injectives mettent en évidence les phénomènes d'extensions et de support.

Inversion

La notion duale est une résolution projective utilisée pour calculer les foncteurs dérivés à gauche ; la comparaison des deux montre que les calculs dérivés à gauche et à droite demandent respectivement des remplacements projectifs ou injectifs, et que dans de nombreuses catégories pratiques on choisit le côté (projectif ou injectif) pour lequel il existe suffisamment d'objets maniables.

Limite

Exige une catégorie abélienne disposant d'assez d'injectifs pour garantir l'existence de résolutions injectives ; dans les catégories sans assez d'injectifs il faut recourir à des alternatives (complexes K‑injectifs, représentabilité de Brown ou remplacements par structures de modèles). Même lorsqu'elles existent, les résolutions injectives peuvent être volumineuses ou non constructives, compliquant leur calcul explicite en pratique.

Tension sémantique

Concurrence avec les résolutions projectives et autres techniques de remplacement (K‑injectifs, structures de modèle injectives) : les résolutions injectives sont canoniques lorsque disponibles mais peuvent être peu maniables, tandis que les méthodes de catégorie dérivée offrent remplacements plus flexibles mais plus abstraits ; la confusion survient si l'on confond existence, calculabilité et fonctorialité.

Synthèse

Une résolution injective est la coresolution canonique d'un objet par des injectifs dont les complexes Hom calculent les foncteurs dérivés à droite ; c'est l'outil dual aux résolutions projectives, indispensable lorsque des injectifs existent pour calculer Ext, la cohomologie locale et phénomènes de dualité, bien que des alternatives soient nécessaires dans les catégories dépourvues d'assez d'injectifs.