Une adjonction naturelle entre les foncteurs d'induction et de restriction en théorie des représentations : pour un sous-groupe H d'un groupe G (ou, plus généralement, pour une paire d'algèbres et la situation de restriction/extension de modules), il existe un isomorphisme canonique Hom_G(Ind_H^G V, W) ≅ Hom_H(V, Res^G_H W) identifiant les morphismes G depuis une représentation induite et les morphismes H vers la représentation restreinte.

Principe

L'induction est adjoint à gauche de la restriction (et, dualement, la coinduction est adjoint à droite de la restriction) : l'idée organisatrice est que l'adjonction régit la manière dont les structures s'étendent et se restreignent le long d'une inclusion.

Démonstration

Soient G un groupe fini, H un sous-groupe, V une représentation de H de dimension finie sur un corps k, et W une représentation de G. L'espace des applications G-linéaires Ind_H^G V → W est naturellement isomorphe à l'espace des applications H-linéaires V → Res^G_H W ; concrètement, toute application G est déterminée par sa restriction à V incluse dans Ind_H^G V, et réciproquement une application H induit une application G unique en moyennant sur des représentants de cosets si nécessaire.

Mauvaise application

Prétendre que la réciprocité de Frobenius donne automatiquement une égalité de caractères ou de multiplicités sans vérifier les hypothèses : pour des groupes infinis, des groupes topologiques ou des catégories où l'induction n'est pas bien définie, la construction d'« average » échoue. Une autre mauvaise utilisation consiste à intervertir induction et coinduction sans vérifier si la restriction admet les deux adjoints dans la catégorie considérée.

Conséquence

Lorsque s'applique, la réciprocité de Frobenius fournit un outil pour calculer les multiplicités des constituants irréductibles, transférer des calculs de Hom entre différents niveaux de groupes et relier les règles de ramification ; elle sous-tend des formules de réciprocité en théorie des caractères et simplifie de nombreux calculs en théorie des représentations modulaires et ordinaires.

Inversion

Inversement, on peut voir l'énoncé comme disant que la restriction est adjoint à droite de l'induction si l'on renverse formellement la direction des flèches ; dualement, la coinduction est adjoint à droite de la restriction, donnant Hom_G(W, Coind_H^G V) ≅ Hom_H(Res^G_H W, V). Cela met en lumière la paire symétrique d'adjonctions plutôt qu'une seule égalité.

Limite

S'applique dans des catégories abéliennes où les foncteurs d'induction et de restriction sont définis et où les hypothèses d'exactitude ou de finitude nécessaires au construit sont satisfaites (par exemple sous-groupes d'indice fini, modules de dimension finie ou extensions d'algèbres de rang fini). Pour des contextes topologiques, mesurés ou de dimension infinie, il faut ajouter des conditions de continuité, d'intégrabilité ou de complétion ; sans elles, les applications canoniques peuvent ne pas être des isomorphismes.

Tension sémantique

Se situe en tension avec la théorie de Mackey et les énoncés de type Frobenius–Schur : la réciprocité de Frobenius décrit une correspondance d'adjonction, tandis que la décomposition de Mackey traite de la façon dont induction suivie de restriction se décompose en morceaux ; la confusion survient lorsqu'on attend de l'adjonction des données de décomposition qui exigent en fait une analyse plus fine par doubles-cosets.

Synthèse

La réciprocité de Frobenius est le principe d'adjonction reliant l'extension des représentations depuis un sous-groupe et la correspondance des morphismes : elle ramène les problèmes de Hom au niveau G au niveau H chaque fois que l'induction et la restriction sont bien définies et que les conditions de finitude ou de continuité sont vérifiées, tout en admettant une formulation duale via la coinduction et en constituant l'armature conceptuelle des calculs de ramification et de multiplicités.