Résultat structurel sur la topologie I-adique d'un anneau : sous des hypothèses standards (par exemple R noethérien et I contenu dans le radical jacobsonien, typiquement dans le cas local ou complet noethérien) l'intersection de toutes les puissances d'un idéal propre I, ⋂_{n≥1} I^n, est {0}. Le théorème précise quand l'application naturelle de R vers sa complétion I-adique est injective, c'est‑à‑dire quand R est séparé pour la topologie I-adique.

Principe

Séparation adique : les puissances décroissantes d'un idéal définissent une topologie I-adique et, sous noethéarité ou complétude, aucun élément non nul ne peut appartenir à toutes les puissances. Autrement dit, l'unique élément topologiquement indiscernable de zéro est zéro lui‑même.

Démonstration

Exemple : R = k[[x1,…,xr]] anneau des séries formelles sur un corps k et I = (x1,…,xr). Toute série non nulle a un terme de degré total minimal, elle ne peut donc appartenir à toutes les I^n ; ainsi ⋂ I^n = {0}. Cela montre la séparation I-adique dans des cas locaux complets réguliers.

Mauvaise application

Prétendre que le théorème vaut pour des anneaux quelconques ou pour des idéaux non contenus dans le radical jacobsonien. Appliqué à un anneau non noethérien ou à un idéal qui ne définit pas la topologie adique considérée, il conduit à des conclusions erronées sur l'unicité des développements ou l'injectivité de la complétion.

Conséquence

Lorsque le théorème s'applique, les éléments et les modules admettent des développements I-adiques uniques et le foncteur de complétion est fidèle sur R ; cela permet de réduire des questions au cas complet adique et garantit que les limites topologiques traduisent l'annulation algébrique.

Inversion

La situation inverse se produit lorsque ⋂ I^n est non trivial : l'anneau n'est pas séparé pour la topologie I-adique, des éléments non nuls sont indiscernables de zéro. Cette non-séparation empêche les relèvements, l'unicité des développements et l'injectivité des morphismes de complétion.

Limite

S'applique aux anneaux et idéaux répondant aux hypothèses adiques — classiquement les anneaux locaux noethériens (souvent complets) ou les anneaux noethériens avec I dans le radical jacobsonien. Ne s'étend pas automatiquement aux anneaux quelconques, aux idéaux hors du radical jacobsonien ni aux topologies non engendrées par des puissances d'idéaux.

Tension sémantique

Tension avec les phénomènes de type Nakayama et la notion de complétude : Krull Intersection affirme la séparation (injectivité vers la complétion) alors que la complétude porte sur la surjectivité ; un anneau peut être séparé sans être complet et inversement.

Synthèse

Le Théorème d'Intersection de Krull affirme que, sous noethéarité et hypothèses voisines, la topologie I-adique sépare les points en garantissant qu'aucun élément non nul n'appartient à toutes les puissances de I, assurant ainsi l'unicité des développements adiques et l'injectivité de la complétion.