Théorème affirmant que si R est un anneau commutatif noethérien alors l'anneau de polynômes R[x1,…,xn] en un nombre fini d'indéterminées sur R est lui aussi noethérien ; autrement dit, tout idéal de R[x1,…,xn] est de type fini lorsque R vérifie la condition de chaîne ascendante sur les idéaux.

Principe

La propriété noethérienne est stable par adjonction d'un nombre fini de variables polynomiales : la finitude de la génération des idéaux dans l'anneau de base entraîne la finitude dans son extension polynomiale finie.

Démonstration

Pour un corps k (qui est noethérien) on forme k[x1,…,xn] ; le théorème garantit que tout idéal de k[x1,…,xn] est engendré par un nombre fini d'éléments. Par exemple, l'idéal engendré par les dérivées partielles d'un polynôme f ∈ k[x,y] est de type fini, ce qui rend possibles des procédures effectives d'élimination.

Mauvaise application

Penser que la même finitude vaut pour des anneaux de polynômes en une infinité de variables, ou croire qu'un anneau non noethérien devient noethérien après adjonction de variables : ces affirmations sont en général fausses.

Conséquence

Fonde de nombreux arguments de finitude en géométrie algébrique et algèbre commutative : existence de générateurs d'idéaux, terminaison des algorithmes (dans le cas fini), et réduction de constructions à des données finies.

Inversion

La direction inverse se déduit par quotient : si R[x1,…,xn] est noethérien alors R ≅ R[x1,…,xn]/(x1,…,xn) est noethérien ; pour un nombre fini de variables les deux propriétés sont donc équivalentes, mais l'énoncé privilégié met l'accent sur la construction depuis R.

Limite

Nécessite un anneau commutatif unitaire et un nombre fini de variables polynomiales. Il ne s'applique pas aux algèbres polynomiales à variables infinies, aux constructions polynomiales non commutatives courantes, ni aux contextes dépourvus de la notion noethérienne (ACC sur les idéaux).

Tension sémantique

Ne pas confondre noethérien (ACC sur les idéaux) avec être de type fini comme algèbre ; le théorème concerne la finitude idéale et non la génération d'algèbres sur un sous-anneau.

Synthèse

Le théorème de la base de Hilbert relie la condition locale de finitude des idéaux dans l'anneau de base à une assertion globale de finitude pour ses extensions polynomiales à nombre fini de variables, fournissant des fondements pour la présentation finie et le contrôle algorithmique.