Le théorème affirmant que tout anneau division fini est commutatif ; autrement dit, tout anneau division fini est un corps fini. Il montre qu'il n'existe pas d'algèbres à division non commutatives finies.

Principe

La finitude impose la commutativité dans une algèbre à division : sur un centre fini, la structure du groupe multiplicatif et les extensions de corps interagissent de sorte que des éléments non centraux ne peuvent pas rester non centraux en situation finie.

Démonstration

Si D est une algèbre à division finie, son centre Z est un corps fini F_q et D est de dimension finie sur Z. En considérant la conjugaison et des arguments de comptage (ou en utilisant que les groupes multiplicatifs de corps finis sont cycliques dans certains cas), on déduit que tout élément est central, donc D = Z est un corps.

Mauvaise application

Confondre le petit théorème de Wedderburn avec le théorème d'Artin–Wedderburn sur la structure des algèbres semisimples, ou appliquer la conclusion de commutativité à des algèbres à division infinies comme les quaternions réelles.

Conséquence

Classe complètement les algèbres à division finies : ce sont exactement les corps finis, simplifiant l'étude des anneaux division finis et influençant des considérations en théorie des groupes finis et des corps.

Inversion

Dans les contextes infinis il existe de véritables algèbres à division non commutatives (par exemple certains corps de quaternions), donc la finitude est cruciale ; inverser l'hypothèse de finitude donne de nombreux contre-exemples.

Limite

Ne s'applique qu'aux anneaux division finis (en cardinal) ; il ne contraint pas les anneaux division infinis ni les anneaux plus généraux non intègres, et ne doit pas être confondu avec la classification des algèbres semisimples.

Tension sémantique

Tension avec Artin–Wedderburn : le petit théorème de Wedderburn traite des anneaux division finis, contraints à la commutativité, tandis qu'Artin–Wedderburn classe les anneaux semisimples (pouvant être des algèbres matricielles sur des anneaux division) et admet des composantes simples non commutatives.

Synthèse

Le petit théorème de Wedderburn affirme que la finitude interdit la non-commutativité dans les anneaux division : tout anneau division fini est un corps, donc les seules algèbres à division finies sont les corps finis.