Le théorème d'Artin–Wedderburn classe les anneaux artiniens semisimples : tout anneau artinien semisimple est isomorphe à un produit direct fini d'algèbres de matrices sur des anneaux divisionnaires. En particulier, une algèbre semi‑simple de dimension finie sur un corps se décompose en somme directe finie d'algèbres de matrices pleines sur des algèbres divisionnaires.

Principe

La semi‑simplicité impose la réductibilité complète : un anneau artinien semisimple se décompose en idéaux bilatères simples, chacun isomorphe à une algèbre de matrices sur un corps divisionnaire, fournissant une description structurelle complète.

Démonstration

Exemple : sur un corps algébriquement clos k, toute k‑algèbre semisimple de dimension finie est isomorphe à un produit direct d'algèbres de matrices M_{n_i}(k) ; par exemple k × M_2(k) est semisimple avec deux facteurs simples de dimensions 1 et 2.

Mauvaise application

Appliquer le théorème à des anneaux non artiniens ou non semi‑simples (par ex. anneaux avec radical de Jacobson non nul) ou s'attendre à une décomposition en produit direct infini ; le théorème exige des hypothèses artiniennes et donne un produit fini d'algèbres de matrices.

Conséquence

Fournit la classification complète des modules simples (correspondant aux colonnes des facteurs matriciels), identifie le centre comme produit des centres des anneaux divisionnaires, et ramène de nombreuses questions de représentation à l'algèbre linéaire sur des anneaux divisionnaires.

Inversion

Si un anneau n'est pas semisimple (a un radical de Jacobson non nul) la décomposition Artin–Wedderburn échoue ; la partie radicale encode des extensions empêchant la scission en facteurs matriciels.

Limite

S'applique aux anneaux artiniens semisimples (ou aux algèbres semi‑simples de dimension finie) ; ne s'applique pas aux produits directs infinis, aux anneaux non artiniens, ni aux anneaux avec radical, et exige l'intervention d'anneaux divisionnaires plutôt que nécessairement des corps en cas non commutatif.

Tension sémantique

Tension entre la décomposition d'Artin–Wedderburn et des décompositions plus générales (p. ex. Wedderburn–Malcev pour les anneaux avec radical) : Artin–Wedderburn donne le noyau semisimple, tandis que d'autres théorèmes décrivent comment le radical se greffe sur ce noyau.

Synthèse

Artin–Wedderburn affirme que la partie semisimple d'un anneau artinien est un produit fini d'algèbres de matrices sur des anneaux divisionnaires, fournissant une description concrète et complète des constituants simples de l'anneau et de leur théorie des modules.