Propriété qu'une algèbre associative A satisfait une identité polynomiale non nulle : il existe un polynôme non nul f en variables non commutatives tel que f(a1,...,an)=0 pour toutes substitutions d'éléments ai dans A.

Principe

La condition PI impose des relations polynomiales s'annulant identiquement sur l'algèbre ; elle situe l'algèbre entre le libre total (aucune identité) et le commutatif (nombreuses identités) et organise des contraintes structurelles et de représentation.

Démonstration

L'algèbre des matrices n×n, M_n(k), satisfait l'identité polynomiale standard de degré 2n (théorème d'Amitsur–Levitzki) ; toute algèbre commutative satisfait l'identité du commutateur [x,y]=0 et est donc PI de bas degré.

Mauvaise application

Supposer qu'une algèbre PI doit être commutative ou de dimension finie ; inversement, penser que l'absence d'identités polynomiales implique toujours un comportement chaotique est erroné. La caractéristique du corps de base influence les identités valides.

Conséquence

Les algèbres PI possèdent une théorie structurée riche (les identités définissent des T-idéaux, les techniques de trace réduite et de polynômes centraux s'appliquent) ; beaucoup d'algèbres PI s'immergent dans des anneaux de matrices sur anneaux commutatifs ou ont des représentations bornées en degré.

Inversion

Les algèbres non PI, comme l'algèbre associative libre, ne satisfont aucune identité polynomiale non triviale et peuvent afficher une complexité non commutative maximale (souvent GKdim infini et représentation sauvage).

Limite

La condition PI se formule par rapport à un anneau ou corps de base et concerne des identités polynomiales associatives ; elle diffère des relations polynomiales en algèbres commutatives ou des identités pour algèbres de Lie et doit être vérifiée dans l'algèbre associative libre appropriée.

Tension sémantique

PI vs commutativité vs identités dans d'autres variétés : PI est plus faible que la commutativité mais plus forte que l'absence d'identités ; les identités en algèbres associatives diffèrent de celles en algèbres de Lie ou Jordan, d'où la prudence dans les comparaisons.

Synthèse

La condition PI affirme l'existence d'une relation polynomiale associative non triviale s'annulant sur l'algèbre, restreignant son comportement non commutatif et permettant des théorèmes structuraux de type matriciel et des bornes de représentation.